6.2 6.2.2 空间向量的坐标表示（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（苏教版）

A层(必备知识练) 1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(1,1,1)　　　　　　　 B. C．(3,2,5) D．(3,2，－5) 解析：＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)． 答案：C 2．(多选题)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　　) A．cos〈a，b〉＝－ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 解析：∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)， ∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2， cos〈a，b〉＝＝＝－.故A、D正确，B、C不正确． 答案：AD 3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为(　　) A. B. C. D. 解析：由已知得ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)．由ka＋b与2a－b互相垂直，得(k－1，k,2)·(3,2，－2)＝0，即5k－7＝0，解得k＝. 答案：D 4．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 解析：由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)， 2a－b＝(2－x,3，－2y－2)． ∵(a＋2b)∥(2a－b)， ∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)， ∴解得 答案：B 5．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：∵＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，＝(2，－3,1)， ∴||＝＝，||＝＝，||＝＝，∴||2＋||2＝||2， ∴△ABC一定为直角三角形． 答案：C 6．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________． 解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)， ∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝. 答案： 7．已知M1(2,5，－3)，M2(3，－2，－5)，O为坐标原点，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为________． 解析：设M(x，y，z)，则＝(1，－7，－2)， ＝(3－x，－2－y，－5－z)． 又∵＝4，∴ ∴ 答案： 8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________． 解析：由已知，得 b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)， ∴|b－a|＝ ＝＝. ∴当t＝时，|b－a|的最小值为. 答案： 9．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； (2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值． 解析：(1)∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)， ∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)． ∵(λa＋b)∥(a－3b)，∴＝＝， 解得λ＝－. (2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0， 解得λ＝. 10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1＝B1C1，求BE1与CO1所成的角的余弦值． 解析：不妨设AB＝1，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，E1， C(1,1,0)，O1， ＝，＝， ·＝·＝， ||＝，||＝. ∴cos〈，〉＝＝. 即BE1与CO1所成角的余弦值为. B层(关键能力练) 11．(多选题)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一个基底，则实数λ的值可以为(　　) A．0 B. C．9 D. 解析：∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，a，b，c三个向量能构成空间的一个基底， ∴a与b不平行，且a，b，c三个向量不共面， ∴若存在实数x，