6.1 6.1.2 空间向量的数量积（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（苏教版）

A层(必备知识练) 1．已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A．30°　　　　　　　 B．60° C．120° D．150° 解析：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 答案：B 2．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 解析：由m⊥n，得m·n＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0. ∴2k－12＝0，∴k＝6. 答案：B 3. (多选题)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有(　　) A.·＝a2 B.·＝a2 C.·＝a2 D.·＝a2 解析：连接A1D(图略)，则·＝·＝||·||·cos〈，〉＝a×a×cos 60°＝a2，A正确；·＝·(＋＋)＝2＋·＋·＝a2，故B错误；·＝·＝·(＋＋)＝(2＋·＋·)＝2＝||2＝a2，C正确；·＝·(－)＝·－·＝－a2，D错误． 答案：AC 4．在四面体OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　) A. B. C．－ D．0 解析：·＝·(－)＝·－·＝||||·cos〈，〉－||||·cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，||＝||，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0. 答案：D 5．已知在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　) A．6 B. C．3 D. 解析：设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1， 且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 因此a·b＝b·c＝c·a＝. 由＝a＋b＋c得 ||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6. ∴||＝. 答案：B 6．已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·，则________. 解析：·＝·，则·(－)＝·＝0，∴⊥. 答案：⊥ 7．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________. 解析：将|a－b|＝两边平方，得(a－b)2＝7. 因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝. 又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝. 答案： 8.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________；·＝________. 解析： 法一：连接A1D，则∠PA1D就是与所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°.因此·＝××cos 60°＝1. 法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1. 由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°. 答案：60°　1 9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积： (1)·； (2)·. 解析：如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋)＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 10．如图，正四棱锥P­ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC； (2)求|＋|的值． 解析：(1)证明：∵＝＋， ∴·＝(＋)·＝·＋· ＝||||cos 60°＋||||cos 120°＝a2－a2＝0，∴BD⊥PC. (2)∵＋＝＋＋， ∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2， ∴|＋|＝a. B层(关键能力练) 11．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 解析：∵＝－，＝－， ∴·＝(－)·(－) ＝·－·－·＋||2＝||2＞0， ∴cos∠CBD＝cos〈，〉＝＞0， ∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角， ∴△BCD为锐角三角形． 答案：B 12．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________． 解析