§3 3.2 第2课时 等比数列习题课（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版）

授课提示：对应学生用书第95页 [A组　基础练] 1．设首项为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝9S3.则log2(a1·a2·a3·…·a20)＝(　　) A．200　　　　　　　　　　　 B．190 C．180 D．170 解析：由题意q≠1，由9S3＝S6得 ＝，解得q＝2. ∴an＝2n－1，n∈N＋. ∵a1·a2·a3·…·a20＝(a1a20)10＝2190， ∴log2(a1·a2·a3·…·a20)＝log22190＝190. 答案：B 2．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列的前2 019项和S2 019＝(　　) A．22 019 B．22 018－1 C．22 019－1 D．22 020－1 解析：由题意，{an}是递增的等比数列，则q＞1，a1＞0. 由a1＋a4＝9，a2a3＝8，即a1＋a1q3＝9，aq3＝8， 解得a1＝1，q＝2. 所以前n项和Sn＝2n－1， 则S2 019＝22 019－1. 答案：C 3．据有关文献记载：我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d(d为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．2盏 B．3盏 C．4盏 D．5盏 解析：设顶层有x盏灯，则最下面有(x＋8d)盏， 则x＋8d＝13x，即d＝x， 由题意得x＋(x＋d)＋(x＋2d)＋…＋(x＋8d)＝126， 整理得9x＋36d＝126， 所以9×＋36d＝126， 解得d＝3，x＝2， 所以顶层有2盏灯． 答案：A 4．已知{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若S6＝－7S3，a2＋a4＝10，则a1＝(　　) A．3 B．－1 C．2 D．－2 解析：∵{an}为等比数列，S6＝－7S3，a2＋a4＝10， ∴ 解②得，1＋q3＝－7， ∴q＝－2，代入①得，a1＝－1. 答案：B 5．设递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝，3a4－10a3＋3a2＝0，则a4＝(　　) A．9 B．27 C．81 D. 解析：设等比数列{an}的公比为q， 若3a4－10a3＋3a2＝0，则3a2q2－10a2q＋3a2＝0， 即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或. 又由数列{an}为递增的等比数列，则q＝3， 又S4＝，则S4＝＝40a1＝，解得a1＝，则a4＝a1q3＝9. 答案：A 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，若对任意n∈N＋，有an＋1＝Sn，则Sn＝________. 解析：由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，即Sn＋1＝Sn，则数列{Sn}是以S1＝1为首项，公比q为的等比数列，所以Sn＝S1·qn－1＝n－1. 答案：n－1 7．有纯酒精a L(a>1)(已满箱)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________ L. 解析：用{an}表示每次取出的纯酒精，a1＝1，加水后浓度为＝1－，a2＝1－，加水后浓度为＝2，a3＝2， 依次类推：a9＝8，a10＝9. ∴8＋9＝8. 答案：8 8．已知公比小于1的等比数列{an}中，其前n项和为Sn，a2＝，S3＝. (1)求an； (2)求证：≤Sn＜1. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q. 由得 解得或(舍去) 所以an＝×n－2＝n. (2)证明：由(1)得an＝n， 所以Sn＝＝1－n. 因为y＝x在R上为减函数，且y＝x＞0恒成立， 所以当n∈N＋，即n≥1时，0＜n≤， 所以≤Sn＝1－n＜1. [B组　能力练] 9．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　) A.或5 B.或5 C. D. 解析：由题意可知＝，解得q＝2，数列是以1为首项，以为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝. 答案：C 10．(多选题)已知等比数列{an}，an＞0，a1＝256，S3＝448，Tn为数列{an}的前n项乘积，则当Tn取得最大值时，n＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．8.5 解析：设等比数列{an}的公比为q，∵an＞0，∴q＞0. ∵a1＝256，S3＝448， ∴256(1＋q＋q2)＝448， 解得q＝. ∴当n＝8或9时，Tn取得最大值． 答案：AB 11．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝5，an＋1＝3Sn＋l，n∈N＋，则a2＝________，S4＝________. 解析：数列{an}的前n项和为Sn，an＋1＝3Sn＋l，① an＝3Sn－1＋l，② ①－②得an＋1－an＝3Sn－3S