§3 3.1 第2课时 等比数列的性质（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版）

授课提示：对应学生用书第91页 [A组　基础练] 1．等比数列{an}中，a3＝4，a2a6＝64，则a5＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．8 C．16 D．32 解析：∵等比数列{an}中，a3＝4，a2a6＝64， ∴a2a6＝a＝64， 解得a4＝±8， ∴q＝＝±2， ∴a5＝a3q2＝4×4＝16. 答案：C 2．在正项等比数列{an}中，a2·a4＝16，a4＋a5＝24，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－1 B．an＝2n C．an＝3n D．an＝3n－1 解析：根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q， 若a2·a4＝16，则(a3)2＝16，必有a3＝4， 又由a4＋a5＝24，则a3q＋a3q2＝24，即q2＋q－6＝0， 解得q＝2， 则有a1＝＝1， 则an＝a1qn－1＝2n－1. 答案：A 3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：因为ak是a1与a2k的等比中项，则a＝a1a2k，[a1＋(k－1)d]2＝a1[a1＋(2k－1)d]，即[9d＋(k－1)d]2＝9d[9d＋(2k－1)d]．又d≠0，则k2－2k－8＝0，k＝4或k＝－2(舍去)． 答案：B 4．已知a，b是两个正数，4是2a与16b的等比中项，则下列说法正确的是(　　) A．ab的最小值是1 B．ab的最大值是1 C.＋的最小值是 D.＋的最大值是 解析：因为2a·16b＝42，所以2a＋4b＝24， 所以a＋4b＝4≥2，可得ab≤1，当且仅当a＝4b时等号成立， 所以ab的最大值为1，故A错误，B正确． 因为·(a＋4b)·＝≥(5＋2)＝， 故＋的最小值为，无最大值，故C和D错误． 答案：B 5．正项等比数列{an}中，已知a1 011＝3，那么log3a1＋log3a2＋…＋log3a2 021＝(　　) A．4 042 B．2 021 C．4 036 D．2 018 解析：正项等比数列{an}中，a1 011＝3， a1×a2×…×a2 021＝a＝32 021， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a2 021 ＝log3(a1×a2×…×a2 021) ＝log3a ＝log332 021 ＝2 021. 答案：B 6．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则q＝________，a8＋a9＋a10＝________. 解析：设等比数列{an}的公比为q， ∵a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2， ∴q(a1＋a2＋a3)＝2，解得q＝2， 则a8＋a9＋a10＝q7(a1＋a2＋a3)＝27×1＝128. 答案：2　128 7．设等比数列{an}的前n项之积为Tn(n∈N＋)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝________. 解析：∵{an}为等比数列， ∴am－1am＋1＝a， ∴am－1am＋1－2am＝a－2am＝0，得am＝0(舍)或am＝2.又T2m－1＝a＝22m－1＝128＝27， ∴2m－1＝7，得m＝4. 答案：4 8．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a3是3a1与2a2的等差中项，且a1a2＝a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3an，且Sn为数列{bn}的前n项和，求数列的前n项和Tn. 解析：(1)设等比数列的公比为q，由题意知q＞0，且3a1＋2a2＝a3，a1a2＝a3， 所以解得a1＝q＝3，故an＝3n. (2)由(1)，得bn＝log3an＝n， 所以Sn＝. 所以＝＋2＝2＋2，故数列的前n项和为Tn ＝2＋＋…＋＋2n ＝2＋2n＝. [B组　能力练] 9．(多选题)已知数列{an}是等比数列，下列结论正确的为(　　) A．若a1a2＞0，则a2a3＞0 B．若a1＋a3＞0，则a1＋a2＜0 C．若a2＞a1＞0，则a1＋a3＞2a2 D．若a1a2＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＜0 解析：数列{an}是等比数列， 对于A，a1a2＞0，即aq＞0，可得q＞0，则a2a3＝aq3＞0，故A正确； 对于B，a1＋a3＝a1(1＋q2)＞0，可得a1＞0，由于a1＋a2＝a1(1＋q)，当q＜－1时，a1＋a2＜0，当q≥－1时，a1＋a2≥0，故B不正确； 对于C，a2＞a1＞0，可得q＞1，所以a1＋a3－2a2＝a1(1－2q＋q2)＝a1(1－q)2＞0，故a1＋a3＞2a2，C正确； 对于D，由a1a2＜0，可得aq＜0，可得q＜0，所以(a2－a1)(a2－a3)＝a(q－1)(q－q2)＝－a