§2 2.1 第2课时 等差数列的性质（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版）

授课提示：对应学生用书第83页 [A组　基础练] 1．已知数列{an}是等差数列，且a3，a7是方程x2－10x＋9＝0的两根，则a5＝(　　) A．3　　　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：因为数列{an}是等差数列，且a3，a7是方程x2－10x＋9＝0的两根， 所以a3＋a7＝2a5＝10， 则a5＝5. 答案：C 2．(多选题)下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题中真命题是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 解析：∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an＋1－an＝d＞0，∴数列{an}是递增数列成立，A是真命题． 对于数列{nan}，第n＋1项与第n项的差等于(n＋1)·an＋1－nan＝(n＋1)d＋an，不一定是正实数，B是假命题． 对于数列，第n＋1项与第n项的差等于－＝＝，不一定是正实数，C是假命题． 对于数列{an＋3nd}，第n＋1项与第n项的差等于an＋1＋3(n＋1)d－an－3nd＝4d＞0，数列{an＋3nd}是递增数列成立，D是真命题． 答案：AD 3．若x是a，b的等差中项，x2是a2，－b2的等差中项，则a与b的关系为(　　) A．a＝b＝0 B．a＝－b C．a＝3b D．a＝－b或a＝3b 解析：⇒x2＝＝， 所以3b2＋2ab－a2＝0，即a＝－b或a＝3b. 答案：D 4．(多选题)下列关于等差数列的命题中正确的有(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 解析：对于A，取a＝1，b＝2，c＝3，可得a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然，a2，b2，c2不成等差数列，故A错误； 对于B，取a＝b＝c，可得2a＝2b＝2c，故B正确； 对于C，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，即ka＋2，kb＋2，kc＋2成等差数列，故C正确； 对于D，a＝b＝c≠0⇒＝＝，故D正确． 答案：BCD 5．已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5＝3，则a3＋a7＝________，a3a7的最大值为________． 解析：依题意，等差数列{an}各项都为正数，所以a3＞0，a7＞0， 所以a3＋a7＝2a5＝6，a3a7≤2＝(a5)2＝9，当且仅当a3＝a7＝3时等号成立． 答案：6　9 6．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________. 解析：依题意，得－＋1＝0， 即－＝1， ∴数列为等差数列，且公差d＝1. 又＝1，∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝n2. 答案：n2 7．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解析：法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列，∴d＞0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 法二：设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)， 依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8， 把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8， 得＝－8，即1－d2＝－8， 化简得d2＝4，所以d＝2或－2. 又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2. 故所求的四个数为－2,0,2,4. [B组　能力练] 8．若lg a，lg b，lg c成等差数列，则(　　) A．b＝ B．b2＝ac C．2b＝ac D．2lg b＝lg(a＋c) 解析：若lg a，lg b，lg c成等差数列，则2lg b＝lg a＋lg c＝lg ac，即b2＝ac. 答案：B 9．(多选题)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．关于这个问题，下列说法正确的是(　　) A．甲得钱是戊得钱的2倍 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 解析：依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d， 则由题意可知，a－2d＋a