§2 2.1 第2课时 等差数列的性质（PPT课件）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案（北师大版）

第2课时　等差数列的性质 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 知识点一　等差数列的性质 预习教材，思考问题 已知公差为d的等差数列{an}． (1)若取奇数项数列，得到的数列a1，a3，a5，a7，…是什么数列？ [提示]　由于a3＝a1＋2d，a5＝a3＋2d，a7＝a5＋2d，…，所以数列a1，a3，a5，a7，…是公差为2d的等差数列． 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 (2)若取偶数项，得到的数列a2，a4，a6，a8，…是什么数列？ [提示]　数列a2，a4，a6，a8，…是公差为2d的等差数列． (3)若“等距”抽取数列中的项，得到的数列a1，a5，a9，a13，…呢？a2，a6，a10，a14，…呢？它们分别是什么数列？ [提示]　数列a1，a5，a9，a13，…是公差为4d的等差数列．a2，a6，a10，a14，…也是公差为4d的等差数列． 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 知识梳理 1．等差数列的单调性与图象 (1)等差数列的图象． 由an＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些 ，其中 是该直线的斜率． (2)从函数角度研究等差数列的性质与图象． 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些 ，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的 ，即自变量每增加1，函数值增加d. 等间隔的 点 公差d 等间隔的点 斜率 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 当 时，{an}为 ，如图(甲)所示． 当 时，{an}为 ，如图(乙)所示． 当 时，{an}为 ，如图(丙)所示． d＞0 递增数列 d＜0 递减数列 d＝0 常数列 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 (n－m) ap＋aq 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 (2)在等差数列{an}中，若m＋n＝2t，则am＋an＝ . (3)数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝ ＝ ＝…＝ai＋1＋an－i＝…. 2at a2＋an－1 a3＋an－2 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 知识点二　等差中项 预习教材，思考问题 如果三个数a，A，b成等差数列，那么它们之间有怎样的数量关系？ [提示]　因为A－a＝b－A，所以a＋b＝2A. 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 A a与b 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 题型一　等差数列的性质 角度1　等差数列“子数列”的性质 [典例1]　已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. [解析]　(利用隔项成等差数列)因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24. 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 角度2　等差数列“下标和”性质的应用 [典例2]　等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值． [解析]　由等差数列的性质得 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120， ∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10， ∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 [典例3]　数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式． [解析]　∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9， ∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6， ① 又a3a5a7＝－21， ∴a3a7＝－7. ② 由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1. ∴a3＝－1，d＝2或a3＝7，d＝－2. 由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d， 得an＝2n－7或an＝－2n＋13. 北师大数学选择性必修第二册 返回导航 下页 上页 [典例4]　在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝