专题08排列与组合（重难点突破）-【课后辅导专用】2022年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

专题08 排列与组合 一、考情分析 二、考点梳理 【排列】 1.排列的概念: 从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 2.排列数的定义: 从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从个不同元素中,任取个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数,是一个数所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列 3.排列数公式及其推导: 由的意义:假定有排好顺序的2个空位,从个元素中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数.由分步计数原理完成上述填空共有种填法,∴= 由此,求可以按依次填3个空位来考虑,∴=, 求以按依次填个空位来考虑, 排列数公式: () 说明:(1)公式特征:第一个因数是,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是,共有个因数; (2)全排列:当时即个不同元素全部取出的一个排列 全排列数:(叫做n的阶乘) 另外,我们规定 0! =1 . 1组合的概念:一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同 【组合】 1.组合数公式的推导: (1)从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢? 启发:由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得,故我们可以考察一下和的关系,如下: 组 合 排列 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有个;② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有种方法.由分步计数原理得:=,所以,. 2.推广:一般地,求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可以分如下两步: ① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数; ② 求每一个组合中m个元素全排列数,根据分步计数原理得:=. 3.组合数的公式: 或 规定: . 三、题型突破 重难点题型突破1 简单的排列问题 例1.(2022·全国·高二)某会议结束后,21个会议人员合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,A站在前排正中间位置,B,C两人也站在前排并与A相邻,如果对其他人所站位置不做要求,那么不同的站法共有( ) A.种 B.种 C.种 D.种 【变式训练1-1】、(2021·全国·高二课时练习)甲、乙、丙人站到共有级的台阶上,若每级台阶最多站人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是_.(用数字作答) 重难点题型突破2 简单的组合问题 例2.(2021·上海师大附中高二期中)从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组,则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为( ) A. B. C. D. 【变式训练2-1】、8.(2021·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习)甲､乙､丙三人计划参加学校趣味运动会中的千人迎面接力､五人踏板､足球射门､篮球投篮四个比赛项目,由于时间关系,每个人只能随机选择参加一个项目,则甲､乙､丙三人中恰好两人参加同一个比赛项目的概率为( ) A. B. C. D. 重难点题型突破3 注意缺少“至多”或“最少” 例3.(2021·福建省龙岩第一中学高二阶段练习)现有16张不同的卡片,其中红色,黄色,蓝色,绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一颜色,且绿色卡片至多1张,则不同的取法种数为( ) A.484 B.472 C.252 D.232 【变式训练3-1】、(2022·重庆·模拟预测)将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习,每班至少1人、至多2人,则不同的安排方法有( ) A.90种 B.120种 C.150种 D.180种 重难点题型突破4 特殊元素优先处理 例4.(2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末)共五人站成一排,如果必须站在的右边,那么不同的排法有_种. 【变式训练4-1】、(2022·江苏省天一中学高二期末)某班上午有五节课,分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课,要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课法的种数是_. 【变式训练4-2】、(2021·全国·高二专题练习)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字且大于201345的正整数