1.3 向量的数乘（PPT课件）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

1．3　向量的数乘 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 学习目标 1.理解向量数乘的定义及几何意义．(数学抽象、直观想象) 2．掌握向量数乘的运算律，能够用已知向量表示未知向量． (逻辑推理、数学运算) 3．理解零向量、平行向量的含义．(数学抽象) 4．掌握两个向量共线的充要条件，以及共线向量的运算，会判断或证明两个向量共线．(数学运算、逻辑推理) 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识导图 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 课时作业 巩固提升 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [问题导学] 预习教材，思考问题 1．向量的数乘运算是如何定义的？ 2．向量共线(平行)是如何定义的？ 3．两个向量共线的充要条件是什么？ 4．向量的夹角是如何定义的？ 5．向量的数乘运算有哪些运算律？　 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [知识梳理] 知识点一　向量的数乘运算 定义 一般地，实数λ与向量a的乘积是一个_____，记作λa，称为a的λ倍，求向量的实数倍的运算称为向量的数乘 长度 |λa|＝________ 向量 |λ| |a| 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 方向 λ>0且a≠0 λa的方向与a的方向______ λ＝0或a＝0 λa＝___ λ<0且a≠0 λa的方向与a的方向______ 我们把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是一个向量． 相同 相反 0 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 6 相同 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识点二　共线向量 1．定义和表示方法 (1)定义：当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行．规定：________与所有的向量平行． (2)表示方法：向量a与b共线(或平行)，用符号“____”来表示，记作_______. (3)本质：共线(平行)向量反映的是两个向量的方向关系，表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行，也可以重合． 零向量 ∥ a∥b 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 2．两个向量共线的充要条件 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的实数倍． 即a∥b⇔存在实数λ，使得________或_________. b＝λa a＝λb 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识点三　两个向量的夹角与垂直 定义 设a，b是两个非零向量，任选一点O，作 ＝a， ＝b，射线OA，OB所夹的最小非负角________＝θ称为向量a，b的夹角 记作 _____________ 范围 _______________ ∠AOB 〈a，b〉 [0，π] 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 特殊 情况 θ＝0 a与b方向_____ θ＝π a与b方向_____ θ＝ a与b_____，记作a⊥b 相同 相反 垂直 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 × √ × × 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 1 单位长度 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微练习 4．已知下列命题：①若|a|＝0，则a为零向量；②若a∥b，则|a|＝|b|；③共线的单位向量是相等向量；④两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同．其中正确的有(　　) A．1个　　　　　　　B．2个 C．3个 D．4个 解析：①正确；②错误；③共线的单位向量模相等，但方向有可能相同，也有可能相反，故③错误；④正确． B 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识点五　数乘运算的运算律 1．一般地，设a，b是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律： (x＋y)a＝xa＋ya. (2)对实数乘法的结合律： x(ya)＝(xy)a. (3)对向量加法的分配律： x(a＋b)＝xa＋xb. 2．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝___________. λμ1a＋λμ2b 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微思考 1．λ是实数，a是向量，则它们的积λa是向量还是实数？ 提示：向量． 2．λ是实数，a是向量，那么λ＋a，λ－a有意义吗？ 提示：无意义． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 ①②③④ 数学 必修 第二册 返回导航