1.4.1 向量分解及坐标表示（PPT课件）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

1．4　向量的分解与坐标表示 1．4.1　向量分解及坐标表示 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 学习目标 1.理解基的定义，并能判断两个向量能否构成一个基． (数学抽象、逻辑推理) 2．理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量． (数学抽象、数学运算) 3．掌握向量的正交分解，领会平面向量坐标的定义．(数学抽象) 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识导图 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 随堂自测 巩固应用 创新拓展 素养培优 课时作业 巩固提升 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [问题导学] 预习教材，思考问题 1．平面向量基本定理的内容是什么？ 2．基是什么？构成基的两个向量具有什么关系？ 3．怎样用坐标表示平面向量？　 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [知识梳理] 知识点一　平面向量基本定理 定理 条件 e1，e2是平面上两个不共线向量 结论 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数. (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定，也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′ (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数. (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定，也就是：如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′ 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 基 若e1，e2__________，则e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2} 坐标 分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在基{e1，e2}下的坐标 不共线 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 微思考 1．如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？ 提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示． 2．平面向量的基是唯一的吗？ 提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基，基一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一组基唯一表示． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 √ √ √ 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 知识点二　平面向量的正交分解与坐标表示 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 B 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 (2)已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基，则实 数λ的取值范围是________． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作为基，反之，则可作为基． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 1．给出下列命题： ①若向量e1，e2不共线，则空间中的任一向量a均可表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)； ②若向量e1，e2不共线，则平面内的零向量不能用e1，e2线性表示； ③若向量e1，e2共线，则平面内任一向量a都不能用e1，e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的形式； ④若向量e1，e2是一组基，则e1＋e2与e1－e2也可以作为一组基． 其中正确命题的序号是________． ④ 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 解析：①错误．当e1，e2不共线时，平面向量可用e1，e2唯一地线性表示，但空间中的向量则不一定． ②错误．零向量也可以用一组基来线性表示． ③错误．当e1，e2共线时，平面内的有些向量可以表示为λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的形式，有些向量则不可以． ④正确．当e1，e2不共线时，e1＋e2与e1－e2一定不共线，可以作为基． 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 用基表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基表示向量的唯一性求解. 数学 必修 第二册 返回导航 下页 上页 题型三　向量的坐标表