第1章 1.2 向量的减法（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

A层(必备知识练) 1.如图，在△ABC中，D为BC的中点，则下列结论错误的是(　　) A.－＝ B.－＝ C.－＝0 D.－＝ 解析：，是相反向量，它们的和是零向量，但－＝≠0. 答案：C 2．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，下列等式中不正确的是(　　) A．a＋b＝c　　　　　　　　　 B．a－b＝d C．b－a＝d D．c－a＝b 解析：在平行四边形ABCD中，∵＝a，＝b，＝c，＝d，∴a－b＝＝－d，故B不正确． 答案：B 3．在平面上有A，B，C三个不同的点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有(　　) A．A，B，C三点必在一条直线上 B．△ABC必为等腰三角形且B为顶角 C．△ABC必为直角三角形且B为直角 D．△ABC必为等腰直角三角形 解析：以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝.由m，n的长度相等，可知||＝||，因此平行四边形ABCD是矩形． 答案：C 4．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　) A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b－c＋d＝0 C．a＋b－c－d＝0 D．a－b＋c－d＝0 解析：易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中，＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，所以a－b＋c－d＝0. 答案：D 5．在边长为1的等边三角形ABC中，|－| 的值为(　　) A．1 B．2 C. D. 解析：如图所示，延长CB到点D，使BD＝1， 连接AD，则－＝＋＝＋＝. 在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°， 易求得AD＝，所以|－|＝. 答案：D 6.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________. 解析：－－＋＋＝＋＋＝. 答案： 7．设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则①＋＝＋；②＋＝＋；③＋＝＋中成立的序号为________． 解析：若＋＝＋成立，则－＝－，即＝，显然不成立，故①错误；若＋＝＋，则－＝－，即＝，由四边形ABCD为平行四边形知＝，故②正确；若＋＝＋，则－＝－，即＝，显然不成立，故③错误． 答案：② 8．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________． 解析： 设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝. ∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴||＝||＝||，∴△OAB是等边三角形，∴∠BOA＝60°.在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b所在直线的夹角为30°. 答案：30° 9．已知点B是▱ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 解析：∵四边形ACDE是平行四边形， ∴＝＝c，＝－＝b－a， ＝－＝c－a，＝－＝c－b， ＝＋＝b－a＋c. 10．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|. 证明：△ABC是直角三角形． 证明：因为－＋－＝＋， －＝＝－， 又|－|＝|－＋－|， 所以|－|＝|＋|， 所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形， 所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形． B层(关键能力练) 11．(多选题)下列四个式子中一定能化简为的是(　　) A．(＋)＋ B．(＋)＋(＋) C．(＋)－ D．(－)＋ 解析：对于A，(＋)＋＝＋＋＝＋＝；对于B，(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝；对于C，(＋)－＝＋＋＝2＋；对于D，(－)＋＝＋＝. 答案：ABD 12．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论正确的是(　　) A．点P在△ABC的内部 B．点P在△ABC的边AB上 C．点P在AB边所在的直线上 D．点P在△ABC的外部 解析：由＋＝，可得＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形，∴点P在△ABC的外部． 答案：D 13.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝______________. 解析：由已知得＝， 则＝＋＝＋＝＋－ ＝a＋c－b. 答案：a＋c－b 14．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式＋＝＋.若点E为AC的中点，则四边形ABCD的形状为________，的值为________． 解析：∵向量，，，满足等式＋＝＋，∴－＝－，即＝，则四边形ABCD为平行四边形．∵E为AC的中点，∴E为对角线AC与BD的交点，∴S△EAB＝S△ECB＝S△ADE＝S△DCE，则＝. 答案：平行四边形　 15.如图，在▱ABCD中，＝a，＝b. (1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？ (2)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为