6.2 6.2.3 向量的数乘运算（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（人教A版）

A层(必备知识练) 1．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值为(　　) A.　　　　　　　 B．－ C．－ D. 解析：∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－. 答案：C 2.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则等于(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析：＝＋＋＝－＋，＝＋＝＋ ＝＋＝＋. 答案：A 3．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 解析：因为＝－，所以AB∥CD，且||≠||，而||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形． 答案：C 4．在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－3 解析：因为E为DC的中点，所以＝＋，即＝－＋2＝λ＋μ，所以λ＝－1，μ＝2，即λ－μ＝－3. 答案：D 5．已知点P是△ABC内的一点，＝(＋)，则△ABC的面积与△PBC的面积之比为(　　) A．2 B．3 C. D．6 解析：设BC的中点为D，则＋＝2. ∴＝(＋)＝. 如图，过点A作AE⊥BC，交BC于点E，过点P作PF⊥BC，交BC于点F， 则＝＝. ∴＝＝3. 答案：B 6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________. 解析：＝－，＝－，∵2＋＝0， ∴2(－)＋(－)＝0，∴＝2－＝2a－b. 答案：2a－b 7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________. 解析：由向量加法的平行四边形法则可知＋＝2， 而已知＋＝λ，故λ＝2. 答案：2 8．已知向量a，b. (1)计算：6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)； (2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来． 解析：(1)原式＝6a－(4a－b－10a＋15b)＋a＋7b ＝6a－(－6a＋14b)＋a＋7b ＝6a＋6a－14b＋a＋7b＝13a－7b. (2)①×4＋②×3，得(12x－8y)＋(－12x＋9y)＝4a＋3b， 即y＝4a＋3b，代入①式，得x＝(a＋2y)＝(a＋8a＋6b)＝3a＋2b， ∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 9.如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示，，，，； (2)求证：B，E，F三点共线． 解析：(1)如图，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC. 则＝a＋b，＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)证明：由(1)知，＝，∴，共线． 又∵，有公共点B，∴B，E，F三点共线． B层(关键能力练) 10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：法一：由＝2得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝. 法二：因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝. 答案：A 11．(多选题)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理．在△ABC中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，D为BC边的中点，下列四个选项中正确的是(　　) A．GH＝2OG B.＋＋＝0 C．AH＝2OD D．S△ABG＞S△BCG＞S△ACG 解析：在△ABC中，O，H，G分别是外心、垂心和重心，画出图形，如图所示． 对于B，根据三角形的重心性质得＋＋＝0，选项B正确； 对于A，C，∵AH∥OD，∴△AHG∽△DOG，∴＝＝＝2， ∴GH＝2OG，AH＝2OD，选项A，C正确； 对于D，过点G作GE⊥BC，垂足为E，∴△DEG∽△DNA，则＝＝， ∴△BGC的面积为S△BGC＝×BC×GE＝×BC××AN＝S△ABC； 同理，S△AGC＝S△AGB＝S△ABC，选项D错误． 答案：ABC 12．已知实数x，y，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________. 解析：由已知得解得 答案：　 13．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________． 解析：因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3. 答案：2∶3 14.如图，正△ABC的边长为15，＝＋，＝＋. (1)求证：四边形APQB为梯