6.1 平面向量的概念（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（人教A版）

A层(必备知识练) 1．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　) A．不共线 B．长度不相等 C．不可能都是单位向量 D．不可能都是零向量 解析：因为所有的零向量都是相等的向量． 答案：D 2.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等向量有(　　) A．1对　　　　　　　 B．2对 C．3对 D．4对 解析：相等向量有＝，＝，共2对． 答案：B 3．下列说法正确的个数是(　　) ①两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量； ②表示任意两个相等的非零向量的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量； ④若a＝b，b＝c，则a＝c. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：有公共终点的有向线段的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故③正确；a＝b，则a，b的长度相等且方向相同，b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，④正确． 答案：B 4.(多选题)如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是(　　) A.＝ B．||＝|| C.＞ D.∥ 解析：||与||表示等腰梯形两腰的长度，所以||＝||；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以∥. 答案：BD 5．在四边形ABCD中，||＝||且＝，则四边形ABCD的形状一定是(　　) A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．等腰梯形 解析：因为＝，所以BA∥CD，BA＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形．又||＝||，所以AB＝AD，所以四边形ABCD是菱形． 答案：C 6．如图所示，E，F分别为△ABC的边AB，AC的中点，则与向量共线的向量有________．(写出图中所有符合条件的向量) 解析：∵E，F分别为△ABC的边AB，AC的中点，∴EF∥BC，∴符合条件的向量有，，. 答案：，， 7．设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有正确结论的序号为________． 解析：正方形的对角线互相平分，则＝，①正确； 与的方向相同，所以∥，②正确； 与的方向相反，所以与共线，③正确； 尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确． 答案：①②③ 8.如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有有向线段表示的向量中，与向量共线的向量共有________个． 解析：与向量共线的向量有，，，，，，，，，共9个． 答案：9 9.如图，已知四边形ABCD中，M，N分别为 BC，AD的中点，＝且＝，求证：＝. 证明：因为＝，所以||＝||且AB∥DC， 所以四边形ABCD是平行四边形， 所以||＝||且DA∥CB. 又与的方向相同，所以＝. 同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以＝. 因为||＝||，||＝||，所以||＝||， 又与的方向相同，所以＝. 10．已知四边形ABCD中，＝且||＝||，tan D＝，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 解析：四边形ABCD是菱形．理由如下： ∵在四边形ABCD中，＝， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵tan D＝，∴B＝D＝60°. 又||＝||， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形． B层(关键能力练) 11．有下列四个命题，其中是真命题的是(　　) A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” C．若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 解析：对于A，有相同起点的两个非零向量可能共线，故A为假命题；对于B，“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a，b方向相同”，故B为假命题；对于C，若b＝0，则a与c不一定共线，故C为假命题；对于D，若a与b中有一个是零向量，则a与b共线，故a与b都是非零向量，故D为真命题． 答案：D 12．(多选题)下列叙述中错误的是(　　) A．若a＝b，则3a＞2b B．若a∥b，则a与b的方向相同或相反 C．若a∥b，b∥c，则a与c有可能不共线 D．对任一向量a，是一个单位向量 解析：向量不能比较大小，A错误；由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若b为零向量，a与c可能不是共线向量，故C正确；对于D，当a＝0时，无意义，故D错误． 答案：A