第2章 6.1 第二课时 正弦定理（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：∵＝，∴sin A∶sin B＝a∶b＝. 答案：A 2．在△ABC中，已知a＝2，sin(A＋B)＝，sin A＝，则c＝(　　) A．4 B．3 C. D. 解析：因为a＝2，sin(A＋B)＝，sin A＝，所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，所以由正弦定理＝，可得c＝＝＝. 答案：C 3．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：因为＝，且＝， 因此＝，故sin C＝cos C，所以C＝45°. 答案：B 4．在△ABC中，A＝30°，a＝3，则△ABC的外接圆半径是(　　) A. B．3 C．3 D．6 解析：由＝2R得2R＝＝6，∴R＝3. 答案：B 5．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c＝(　　) A．1∶2∶3 B．3∶2∶1 C．1∶∶2 D．2∶∶1 解析：由sin C＝1，∴C＝， 由A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝， 由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2. 答案：C 6．在△ABC中，AB＝1，sin B＝5sin C，cos A＝，则BC＝________. 解析：因为sin B＝5sin C， 所以AC＝5AB＝5， 则BC＝＝. 答案： 7．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若csin Acos B＝asin C，则∠B的大小为________． 解析：在△ABC中，由正弦定理可得csin A＝asin C， 所以cos B＝＝， 又0＜B＜π， 所以B＝. 答案： 8.如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长． 解析：在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°. 由正弦定理知：＝， 求得BC＝11， 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝11×tan 30°＝11. [B能力练] 9．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2c，sin2A＋sin2C－sin Asin C－sin2B＝0，则C＝(　　) A. B. C. D. 解析：因为sin2A＋sin2C－sin Asin C－sin2B＝0， 所以由正弦定理可得a2＋c2－b2＝ac， 又a＝2c， 所以b2＝4c2＋c2－2c2＝3c2， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)， 所以C＝. 答案：A 10．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且C＝45°，c＝，a＝x.若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是(　　) A．(，2) B. C．(1,2) D．(1，) 解析：在△ABC中，由C＝45°，c＝，a＝x，得asin C＝xsin 45°＝x，要使满足条件的三角形有两个，则x<c<x，即x<<x，解得<x<2，即实数x的取值范围是(，2)． 答案：A 11．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________. 解析：∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， ∴＝＝＝2R＝2. ∴＋＋＝2＋1＋4＝7. 答案：7 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则cos C的最小值为________． 解析：因为在△ABC中，sin2A＋sin2B＝2sin2C， 所以由正弦定理可得a2＋b2＝2c2， 所以cos C＝＝≥＝， 当且仅当a＝b时等号成立， 所以cos C的最小值为. 答案： 13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b＝6，a＝2，A＝30°，试求ac的值． 解析：由正弦定理＝， 得sin B＝＝＝. 由条件b＝6，a＝2，b>a知B>A. 所以B＝60°或120°. (1)当B＝60°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°. 在Rt△ABC中，C＝90°，a＝2，b＝6，c＝4， 所以ac＝2×4＝24. (2)当B＝120°时，C＝180°－A－B＝180°－30°－120°＝30°， 所以A＝C，则有a＝c＝2. 所以ac＝2×2＝12. 综上，ac＝24或12. 学科网（北京）股份有限公司 $