第1章 弧度制（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．把56°15′化为弧度是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：56°15′＝56.25°＝× rad＝ rad. 答案：D 2．下列说法中，错误的是(　　) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的 C．1 rad的角比1°的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 答案：D 3．一个扇形的面积为15π，弧长为5π，则这个扇形的中心角为(　　) A. B. C. D. 解析：设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径为r，则由题意得θr＝5π，θr2＝15π，解得r＝6，θ＝. 答案：D 4．下列各对角中，终边相同的是(　　) A.π和2kπ－π(k∈Z) B．－和π C．－π和π D.π和π 解析：在弧度制下，终边相同的角相差2π的整数倍． 答案：C 5．若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　) A. B. C. D.(k∈Z) 解析：阴影部分的两条边界分别是和角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z)． 答案：D 6．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C，面积为S，则的最大值为________． 解析：设扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，则l＝2r，故C＝l＋2r＝2r＋2r＝4r，S＝lr＝r2，所以＝＝－2＋＝－2＋4≤4，当r＝时，等号成立，则的最大值为4. 答案：4 7．与－π终边相同的最大负角是________． 解析：与－π终边相同的角β＝2kπ＋，k∈Z. 当k＝2时，最大负角为－π. 答案：－π 8．把下列角化为2kπ＋α，k∈Z,0≤α<2π的形式，并判断该角是第几象限角： (1)；(2)－1 104°. 解析：(1)＝6π＋，∵是第四象限角，∴是第四象限角． (2)∵－1 104°＝－1 104×＝－π＝－8π＋， ∵是第四象限角， ∴－1 104°是第四象限角． [B能力练] 9．若弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是(　　) A．tan 1 B. C. D. 解析：如图所示，设∠AOB＝2，AB＝2.过点O作OC⊥AB于C，延长OC交于D，则∠AOC＝∠AOB＝1，AC＝AB＝1. 在Rt△AOC中，OA＝＝. ∴扇形的面积S＝|α|·OA2＝×2×＝. 答案：C 10．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长为40 m的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为________m2.(其中π≈3，≈1.73) 解析：因为圆心角为，弦长为40 m，所以圆心到弦的距离为20 m，半径为40 m，因此根据经验公式计算出弧田的面积为×(40×20＋20×20)＝(400＋200) m2，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为××402－×20×40＝－400 m2，因此两者之差为－400－(400＋200)≈16 m2. 答案：16 11．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于________． 解析：当k＝0时，A∩B＝[0，π]； 当k＝－1时，A∩B＝[－4，－π]； 当k≥1或k≤－2时，A∩B＝∅. 综上A∩B＝[0，π]∪[－4，－π]． 答案：[0，π]∪[－4，－π] 12．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积； (2)已知一个扇形的周长为12 cm，当扇形的半径为何值时，这个扇形的面积最大？并求出此时的圆心角． 解析：(1)扇形的圆心角为75×＝，扇形的半径为15 cm. 扇形面积S＝αr2＝××152＝(cm2)． (2)设扇形的半径为r cm，圆心角为θ，则扇形的弧长为l＝rθ，根据题意，扇形的周长为2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面积S＝lr＝(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9.故当r＝3时，S取得最大值，此时l＝12－2×3＝6，扇形的圆心角θ＝＝＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $