第5讲 函数的切线问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第5讲 函数的切线问题 方法总结： 1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程 2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点的横坐标，因为可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标，代入到导函数中可得到切线的斜率,从而一点一斜率，切线即可求。所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来。 3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标,再考虑利用条件解出核心要素. 4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用求出参数值进而解出切线方程。解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通。若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解。若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在轴的抛物线，可看作关于的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解. 5. 导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 典型例题： 例1．（2022·全国·高三专题练习）一条倾斜角为的直线与执物线交于不同的两点，设弦的中点为过作平行于轴的直线交抛物线于点，则以为切点的抛物线的切线的斜率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设弦所在直线的方程为，，联立方程得，进而得，再根据导数的几何意义求解. 【详解】 设弦所在直线的方程为，， 所以联立方程得， 所以，解得 ， 所以， 所以点的坐标为， 所以联立方程得， 此时点在轴上方，抛物线对应的函数为，故求导得， 所以点的切线的斜率为. 故选：C 【点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设弦所在直线的方程为，进而与抛物线联立计算得，进一步计算得，最后根据导数的几何意义求解. 例2．（2022·全国·高三专题练习）若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】 【分析】 因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可. 【详解】 ①易知P点在曲线上，当P点为切点时，. ②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为. ∵A在曲线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或 (舍去)， ∴，k=3， 此时切线方程为y+1=3(x+1)， 即. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或. 故选：D 例3．（2022·全国·高三专题练习）设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 求出导函数，设切点，写出切线方程，把用表示，得出的表达式，再构造新函数．利用导数求得最大值． 【详解】 由题得.设切点， 则; 则切线方程为 即 又因为是曲线的切线 所以 则. 令. 则. 则有时，在上递减; 时，在上递增﹐ 所以时，取最大值 即的最大值为. 故选：D． 【点睛】 关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．解题关键是掌握求切线方程的方法，设切点为，求出切线方程，可把表示为的函数，然后再由导数求得最大值． 例4．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为（       ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项. 【详解】 由题设有，化简可得即， 整理得到，同理，不妨设， 令， 因为当时，均为增函数，故为增函数， 同理当时，故为增函数， 故分别为在、上的唯一解， 又，故， 故为在的解，故即. 所以， 故选：B. 【点睛】 用导数求切线方程常见类型： (1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：； (2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：. 例5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））若函数（为常数）存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设切点坐标，利用两点连线斜率公式和导数的几何意义表示出切线斜率，从而可得，，将问题转化为与，，存在两个不