第06讲 正方形与三角形中位线（核心考点讲与练）-2021-2022学年八年级数学下学期考试满分全攻略（苏科版）

第06讲 正方形与三角形中位线(核心考点讲与练) 一．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 二．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 三．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 四．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 一．正方形的性质（共5小题） 1．（2021秋•启东市期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为　 　． 2．（2021春•泰兴市月考）已知：如图，正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上．从以下两个条件： （1）AE∥CF； （2）BF＝DE中任意选择一个作为条件，证明四边形AECF是菱形． 我选择的条件是 　 　． 解： 3．（2021秋•阜宁县期末）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝4，BE＝3，则阴影部分的面积是 　 　． 4．（2021秋•宿豫区期中）（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 5．（2021秋•海陵区期末）如图，E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，P是边CD上任意一点（不与D重合），连接AP，作点D关于AP的对称点F，则线段EF长的最小值等于 　 　． 二．正方形的判定（共5小题） 6．（2021春•苏州期末）下列条件中，能使菱形ABCD为正方形的是（　　） A．AB＝AD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 7．（2020春•东海县期末）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，正确的个数有（　　） ①四边形AEDF是平行四边形 ②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 ③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形 ④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2021•滨湖区二模）下列说法中，正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 9．（2020春•唐河县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是菱形． （2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形． 10．（2021春•柳南区校级期末）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO＝FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． （3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由． 三．正方形的判定与性质（共7小题） 11．（2021春•饶平县校级期末）下列说法正确的有几个（　　） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直的四边形是菱形； ③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2021•肇源县模拟）如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了