9.2.1 第2课时 向量的减法-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

第2课时　向量的减法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解向量减法的意义及减法法则．(重点) 2.掌握向量减法的几何意义．(难点) 3.能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点) 1.通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养数学抽象素养. 2.通过向量减法法则的应用，培养数学运算素养. 对于实数的运算：减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？两个向量如何相减？如何理解向量的减法？ 向量的减法 (1)向量减法的定义 若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫作向量的减法． (2)向量的减法法则 如图所示，以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b. 思考：向量的加法三角形法则和减法三角形法则有什么不同？类比实数的减法，a－b＝ a＋(－b)是否一定恒成立？ 提示： 向量的加法三角形法则对任意两个向量首尾相接，第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量就是它们的和向量；向量的减法三角形法则，对任意两个向量同起点，由减向量的终点指向被减向量的终点的向量就是它们的差向量；类比实数的减法， a－b＝a＋(－b)一定恒成立． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)－＝． (　　) (2)若－b与a同向，则a－b与a同向． (　　) (3)向量的减法不满足结合律． (　　) [解析]　(1)错误，－＝. (2)正确，－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向． (3)错误，如(a－b)＋c＝a＋(c－b)． [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．化简－＋等于________． 0　[－＋ ＝＋ ＝0.] 3．化简－＋＋的结果等于________． 　[－＋＋＝＋＋－＝＋＝.] 向量减法的几何作图 【例1】　如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. [思路点拨]　根据相反向量及三角形法则求作． [解]　法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可． 如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b，连接CB，得向量，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c. 法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②. (1)作＝－b和＝－c； (2)作＝a，则＝a－b－c. 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量． [跟进训练] 1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解]　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 向量减法法则的应用 【例2】　(1)化简下列式子： ①－－－； ②(－)－(－)． (2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. [思路点拨]　(1)充分利用减法的运算律求解． (2)寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决． [解]　(1)①原式＝＋－(＋)＝－＝0. ②(－)－(－) ＝－－＋ ＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋＝0. (2)因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c； ＝－＝b－a， 故＝＋＝b－a＋c. (1)向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． (2)用几个基本向量表示其他向量的技巧： ①观察待表示的向量位置； ②寻找相应的平行四边形或三角形； ③运用法则找关系，化简得结果． [跟进训练] 2．如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示： (1)－；(2)＋；(3)－. [解]　(1)－＝＝－， ∵＝d，＝b， ∴－＝d－b. (2)∵＋＝(－)＋(－)， ＝a，＝b，＝c，＝f， ∴＋＝b＋f－a－c. (3)－＝＝－， ∵＝f，＝d， ∴－＝f－d. |a－b|与a，b之间的关系 [探究问题] 1．若a与b共线，怎样作出a－b? [提示]　①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b： ＝a，＝b，则＝a－b； ②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b： ＝a，＝b，则＝a－b； ③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b： ＝a，＝b，则＝a－b. 2．结合探究问题1的图示及向量的减法法则，探究|a－b|与a，b之间的大小关系？ [提示]　当a与b不共线时，有：||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|