9.1 向量概念-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

9.1　向量概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念．(重点) 2．理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义．(重点、难点) 3．理解向量的几何表示．(重点) 1.通过学习向量的有关概念，培养数学抽象素养． 2．通过学习共线向量，相等向量，零向量等概念及表示，培养学生的数学运算素养. 1．民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移(如图甲)． 2．某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ＝43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35 m/s(如图乙)． 甲　　　　　　　乙 问题：上述实例中的“位移”“速度”“力”与生活中，我们接触到的长度、面积、重量等有什么区别？如何表示上述既有大小又有方向的量？ 1．向量的定义及表示 定义 既有大小又有方向的量叫作向量 表示 方法 (1)几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为； (2)字母表示：用小写字母a，b，c来表示 模 向量的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|| 思考1：在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 提示：面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向． 思考2：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 提示：数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小． 2．向量的有关概念及其表示 名称 定义 表示方法 零向量 长度为0的向量 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量 a与b平行(或共线)，记作a∥b 相等向量 长度相等且方向相同的向量 a与b相等，记作a＝b 相反向量 长度相等且方向相反的向量 a的相反向量记作－a 思考3：零向量的方向是如何规定的？零向量与任一向量共线吗？ 提示：零向量的方向是任意的；规定零向量与任一向量共线． 思考4：已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？它们共线吗？ 提示：因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线． 思考5：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 提示：不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)有向线段就是向量． (　　) (2)两个向量的模能比较大小． (　　) (3)有向线段可以用来表示向量． (　　) (4)若a＝b，b＝c，则a＝c． (　　) (5)单位向量的模都相等． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有______(填序号)． ①⑥⑦⑧　[一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．] 向量的概念 【例1】　判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)任何两个单位向量都是平行向量； (2)零向量是没有方向的； (3)在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量与是平行向量； (4)对于向量a、b、c，若a∥b，且b∥c，则a∥c； (5)若非零向量与是平行向量，则直线AB与直线CD平行； (6)非零向量与是模相等的平行向量． [思路点拨]　解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假． [解]　(1)错误．因为两个单位向量只是模都等于1个单位，方向不一定相同或相反； (2)错误．任何向量都有方向，零向量的方向是任意的； (3)正确．由三角形中位线性质知，DE∥BC，向量与方向相反，是平行向量； (4)错误．b为零向量时，有a∥b且b∥c，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量； (5)错误．A、B、C、D四点也可能在同一条直线上； (6)正确．非零向量与的模相等，方向相反，二者是平行向量． 1．在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)． 2．涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量． 3．对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题