课时分层作业6 平面向量基本定理-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(苏教版)

课时分层作业(六)　平面向量基本定理 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是(　　) A．①④　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④ C　[如图所示，与为不共线向量，可以作为基底.与为不共线向量，可以作为基底.与，与均为共线向量，不能作为基底． ] 2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　) A．不共线 B．共线 C．相等 D．不确定 B　[a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)，所以a＋b与c共线．] 3．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 D　[易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)， ∴∴k＝－8.] 4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝(　　) A． B．2 C． D．4 B　[由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴＝2.] 5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　) A． B． C． D． A　[∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 又∵＝＋λ，∴λ＝.] 二、填空题 6．(一题两空)如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为________，在以a，c为基底时，可表示为________． a＋b　2a＋c　[由平行四边形法则可知，＝＋＝a＋b，以a，c为基底时将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．] 7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________． (－∞，4)∪(4，＋∞)　[若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.] 8．如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，f ，则＋＋＝________. 0　[原式＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.] 三、解答题 9．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，E，f 分别是AB，BC的中点，G点使＝，试以a，b为基底表示向量与. [解]　＝＋＝＋ ＝＋＝a＋b. ＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－a＋b＋a＝－a＋b. 10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a. [解]　设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则 －e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)， 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2， ∴∴ ∴a＝－b＋c. 1．(多选题)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2　　 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 ACD　[B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．故选ACD．] 2．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． B　[如图，分别在，上取点E，f ， 使＝，＝， 在上取点G，使＝，则EG∥AC，f G∥AE， ∴＝＋＝， ∴M与G重合，∴＝＝.] 3．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 　[设＝λ，＝－＝m＋－＝m－，λ＝λ(－)＝λ－，∴∴m＝λ＝.] 4．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________． ∪　[当a∥b时，设a＝mb， 则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)， 即e1＋2e2＝mλe1＋me2， 所以解得λ＝，即当λ＝时，a∥b. 又a与b是一组基底， 所以a与b不共线，所以λ≠.] 5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底； (2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． [解]　(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb， 则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共线