课时分层作业5 向量的数量积-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(苏教版)

课时分层作业(五)　向量的数量积 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．－1　　　　D．±1 D　[∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°， ∴e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝±1.] 2．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝(　　) A． B． C．－ D．± D　[(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±.] 3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝(　　) A．－ B．0 C． D．1 C　[∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°， ∴a·b＝|a||b|cos 120°＝－. 又a·a＝|a|2＝1， ∴a·a＋a·b＝1－＝.] 4．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是(　　) A．－25 B．25 C．－60 D．60 A　[∵||＝13，||＝5，||＝12， ∴||2＝||2＋||2， ∴△ABC为直角三角形． 又cos∠ABC＝， ∴·＝||||cos(π－∠ABC) ＝13×5×＝－25.] 5．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[与的夹角为锐角，所以||2＋||2＋2·>||2＋||2－2·， 即|＋|2>|－|2，因为－＝， 所以|＋|>||； 当|＋|>||成立时，|＋|2>|－|2⇒·>0，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角．故“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件，故选C．] 二、填空题 6．(一题两空)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影向量等于________． 　 　[·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0， 解得|b|＝(舍负)，b在a方向上的投影是(|b|cos 45°)＝××＝.] 7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________． 4　[由a＋b＋c＝0得c＝－a－b. 又(a－b)·c＝0， ∴(a－b)·(－a－b)＝0， 即a2＝b2. 则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2， ∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.] 8．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________. －1　[在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝(－)·(＋)＝·＋·－2－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.] 三、解答题 9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求|a＋b|； (2)求向量a在向量a＋b方向上的投影． [解]　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. ∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6， ∴|a＋b|＝ ＝＝. (2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10， ∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝. 10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？ [解]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2 ＝2k＞0， ∴k＞0. 但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为{k|k＞0且k≠1}． 1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　) A．－8　　　　B．8　　　　C．－6　　　　D．6 B　[由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，sin θ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×＝8.] 2. (多选题)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列结论正确的是(　　) A．在方向上的投影向量为－ B．·＝· C．在方向上的投影向量为 D．·＝· BCD　[由＋＋＝0得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△