课时分层作业4 向量的数乘-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word练习(苏教版)

课时分层作业(四)　向量的数乘 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知λ∈R，则下列说法正确的是(　　) A．|λa|＝λ|a|　　　　 B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0 C　[当λ<0时，A式不成立；当λ＝0或a＝0时，D式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故B式不成立．] 2．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝(　　) A．(b－a) B．(b－a) C．(a－b) D．(a－b) A　[＝＋＝－＝－＝b－(a＋b)＝b－a＝(b－a)．] 3．已知向量a，b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．P1，P2，P3 B．P1，P3，P4 C．P2，P3，P4 D．P1，P2，P4 D　[∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴P1，P2，P4三点共线．] 4．已知a，b是两个不共线的向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线　　 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线　　 D．B，C，D三点共线 B　[∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，∴与平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．] 5．在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b　　　 B．a＋b C．a－b　　　 D．a－b A　[法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，f ，则四边形AEDf 为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝， 所以＝＋＝a＋b，故选A． 法二：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．] 二、填空题 6．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示) e2－e1　[∵＝，∴＝－＝3e2－2e1. 又∵＝2，∴＝e2－e1.] 7．＝________. 2b－a　[＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝2b－a.] 8．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________. －2　[∵e1，e2不共线，∴向量a，b不为0. 又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb， 即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2. ∴∴] 三、解答题 9．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形． [证明]　如图所示． ∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)， ∴＝2.∴与共线，且||＝2||. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD∥BC，且AD＝2BC． ∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形． 10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)． (1)求证：A，B，M三点共线； (2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围． [解]　(1)证明：∵＝λ＋(1－λ)， ∴＝λ＋－λ， －＝λ－λ， ∴＝λ(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)． 又与有公共点A，∴A，B，M三点共线． (2)由(1)知＝λ， 若点B在线段AM上，则与同向， ∴||>||>0，∴λ>1. 1．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 C　[由＋＋＝0可知，M是△ABC的重心． 取BC的中点D，则＋＝2. 又M是△ABC的重心，∴＝2，∴＝， ∴＋＝3，即m＝3.] 2．如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　) A．　　　　　 B． C．　　　　　 D． C　[法一：因为＝，所以＝. 设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)， 又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)， 得，解得t＝λ＝，故选C． 法二：因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋， 因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，选C．] 3．(多选题)设a，b是不共线的两个平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0,2π)，＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为(　　) A．　　　　　 B．　　　 C．　　　　 D． CD　[因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即≠0，因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数λ，使＝λ，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以解得sin α＝－. 又α∈(0,2π)，故α可为或.选CD．] 4．(一题两空)在△ABC中，＝2，＝m＋n，则m＝________，n＝________. 　　[－