9.3.2 第1课时 向量的坐标运算-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

9.3.2　向量坐标表示与运算 第1课时　向量的坐标运算 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握向量的坐标表示．(重点) 2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．(重点) 3．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．(易混点) 1.通过向量的坐标表示的学习，培养数学抽象素养． 2．通过向量和、差及数乘向量的坐标运算法则的应用，培养数学运算素养. 平面内建立了直角坐标系，点A可以用什么来表示？平面向量是否也有类似的表示吗？ 1．向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)． 思考1：如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a? 提示：a＝2i＋2j. 思考2：在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？ 提示：对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定．对于向量a，给定的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关． 2．向量线性运算的坐标表示 (1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)． (2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标． 思考3：设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？ 提示：a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j， a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j. 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同． (　　) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标． (　　) (3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．若A(2，－1)，B(－1，3)，则的坐标是(　　) A．(1，2)　　　　 B．(－1，－2) C．(－3，4) D．(3，－4) [答案]　C 3．(一题多空)若a＝(－1，2)，b＝(3，4)，则a＋b＝________；a－b＝________；3a＝________；－5b＝________. (2，6)　(－4，－2)　(－3，6)　(－15，－20)　[a＋b＝(2，6)，a－b＝(－4，－2)，3a＝(－3，6)，－5b＝(－15，－20)．] 平面向量的坐标表示 【例1】　在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标． [思路点拨]　借助三角函数的定义求a，b的坐标． [解]　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°， 所以a1＝|a|cos 45°＝4×＝2，a2＝|a|sin 45°＝4×＝2. 可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°， 所以b1＝|b|cos 120°＝3×＝－， b2＝|b|sin 120°＝3×＝. 故a＝(2，2)，b＝. 求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算． [跟进训练] 1．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标． [解]　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则 a1＝|a|cos 45°＝2×＝， a2＝|a|sin 45°＝2×＝； b1＝|b|cos 120°＝3×＝－， b2＝|b|sin 120°＝3×＝； c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2， c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2. 因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)． 平面向量的坐标运算 【例2】　已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，，＋，2＋. [思路点拨]