9.2.3 向量的数量积-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

9. 2.3　向量的数量积 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解向量的夹角、向量垂直、投影向量等概念．(易错点) 2.理解平面向量数量积的含义．(重点) 3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点) 1.通过向量数量积及投影概念的学习，培养数学抽象素养. 2.通过数量积的应用，培养数学运算素养. 一个物体在力F的作用下位移为s，则力F所做功W＝|F||s|cos θ，θ为F和位移s的夹角，试想功W是力F和位移s的乘积吗？ 1．向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 思考1：两个向量的数量积是向量吗？ 提示：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量． 思考2：数量积的大小和符号与哪些量有关？ 提示：数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定． 2．两个向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示．作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角． (2)范围：0°≤θ≤180°. (3)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向． (4)当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. (5)两个非零向量a和b的夹角θ，可以由cos θ＝求得． 思考3：把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？ 提示：角． 3．向量a在向量b上的投影向量 设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1，我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量． (1)　　　　　　　　　(2) 所以＝ (|a|cos θ)，a·b＝·b 投影向量与向量数量积的关系：向量a与向量b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积． 4．向量的数量积的运算律及性质 (1)向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ. ①a·b＝b·a； ②(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (2)数量积的性质： ①a·a＝|a|2或|a|＝； ②|a·b|≤|a||b|；当且仅当向量a，b为共线向量时取“＝”号． ③a⊥b⇔a·b＝0.(向量a，b均为非零向量) 思考4：向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 提示：向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量． 1．已知|a|＝3，|b|＝6，则 (1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________； (2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________； (3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________. (1)18　(2)9　(3)0　[(1)a·b＝|a||b|cos 0°＝|a||b|＝18. (2)a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝＝9. (3)a·b＝|a||b|cos 90°＝3×6×0＝0.] 2．试指出图中向量的夹角， 图①中向量与的夹角________； 图②中向量与的夹角________； 图③中向量与的夹角________； 图④中向量与的夹角________． [答案]　θ　0°　180°　θ 3．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影向量为________；b与a上的投影向量为________． b　 a　[a在b上的投影向量为(|a|cos θ)＝(3cos 45°)＝b；b在a投影向量为(|b|cos θ)＝(5cos 45°)＝a.] 向量数量积的运算 【例1】　已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)． [思路点拨]　借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)． [解]　(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3； (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5； (3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2 ＝8－15－27 ＝－34. 1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去． 2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简． [跟进训练] 1．已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. [解]　(1)