9.2.2 向量的数乘-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

9.2.2　向量的数乘 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点) 2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 1.通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养； 2.通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养. 一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？ 1．向量的数乘定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|； (2)若a≠0，则当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0. 实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘． 向量的数乘λa的几何意义：当λ＞0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小，当λ＜0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小． 思考：λa＝0，一定能得到λ＝0吗？ 提示：不一定．λa＝0，则λ＝0或a＝0. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．向量共线定理 一般地，对于两个向量a(a≠0)，b，设a为非零向量，如果有一个实数λ，则b＝λa， 那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. 4．向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)a＝0，则λa＝0． (　　) (2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反． (　　) (3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．5×(－4a)＝________. －20a　[5×(－4a)＝5×(－4)a＝－20a.] 3．a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则a＋b＝________. 4e1　[a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1.] 4．已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的序号是________． ①a＝2e1，b＝2e2； ②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－e2，b＝e1－e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2. ②③　[∵e1与e2不共线，∴①不正确； 对于②有b＝－2a；对于③有a＝4b；④不正确．] 向量数乘的基本运算 【例1】　计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)－； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)． [思路点拨]　利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并． [解]　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b. (2)原式＝－ ＝a＋b－a－b－a－b－a＝0. (3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b. 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解． [跟进训练] 1．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________. －16i＋j　[原式＝a－b－3a－2b＋2b－a ＝－a－b ＝－(3i－4j)－(5i＋4j) ＝(－11－5)i＋j ＝－16i＋j.] 向量的共线问题 【例2】　已知非零向量e1，e2不共线. (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线． (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． [思路点拨]　对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)． [解]　(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5， ∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1. 1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据． 2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共