第十三讲 特殊平行四边形-菱形-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第十三讲 特殊平行四边形--菱形 目录 必备知识点 1 考点一 菱形的判定与性质 2 考点二 菱形的存在性 15 ( 知识导航 ) 必备知识点 一、菱形的性质与判定 定 义 示 例 剖 析 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 性 质 示 例 剖 析 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且四边都相等； ②邻角互补，对角相等； ③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组 对角； ④是中心对称图形、轴对称图形． 除平行四边形性质外：①AB= BC=CD=AD； ②AC⊥BD且AC、BD分别为、的角平分线． ①菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． ②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半．（注：不能直接使用） ① ② 判 定 ① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③ 四边相等的四边形是菱形． 考点一 菱形的判定与性质 1．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的面积为24，OA＝3，则OE的长等于 　　． 【解答】解：∵菱形的对角线、BD交于点O，OA＝3， ∴AC＝2AO＝6， ∵菱形ABCD的面积为24， ∴×6×BD＝24， ∴BD＝8，DO＝4， 又∵AC⊥BD， ∴AD＝＝＝5， 又∵E为AD边中点， ∴OE＝AD＝， 故答案为：． 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，AH交OB于点E，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OE的长为　2.25　． 【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB＝4， ∴BD＝8， 又∵S菱形ABCD＝24， ∴BD×AC＝24， ∴AC＝6，CO＝3， ∴Rt△BCO中，BC＝5， 又∵AH⊥BC， ∴BC×AH＝24， ∴AH＝4.8， ∴Rt△ABH中，BH＝＝＝1.4， ∵∠EBH＝∠CBO，∠BHE＝∠BOC＝90°， ∴△BEH∽△BCO， ∴＝，即＝， ∴BE＝1.75， ∴EO＝BO﹣BE＝4﹣1.75＝2.25， 故答案为：2.25． 3．如图，在菱形ABCD中，对角线BD、AC交于点O，AC＝6，BD＝4，∠CBE是菱形ABCD的外角，点G是∠CBE的角平分线BF上任意一点，连接AG、CG，则△AGC的面积等于（　　） A．6 B．9 C．12 D．无法确定 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO＝DO＝2，∠CAB＝∠DAB，AD∥BC， ∴∠DAB＝∠CBE， ∵BG平分∠CBE， ∴∠GBE＝∠CBE， ∴∠CAB＝∠GBE， ∴AC∥BG， ∴S△ABC＝S△AGC＝×AC×BO＝×6×2＝6， 故选：A． 4．已知边长为2cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN，则下列命题正确的是（　　） ①S四边形OMFN＝cm2； ②MN的长度为定值； ③△OMN的形状为等边三角形； ④的最小值为3． A．①③ B．①②③④ C．③④ D．①③④ 【解答】解：连接OF，如图所示： ∵四边形AFEO是菱形， ∴∠AFE＝120°，OA＝AF，∠A＝60°，∠OFN＝∠AFE＝60°， ∴△AOF是等边三角形， ∴OF＝OA，∠AOF＝60°， ∵∠MON＝60°， ∴∠AOM＝∠FON， 在△AOM和△FON中，， ∴△AOM≌△FON（ASA）， ∴OM＝ON， ∴△OMN是等边三角形，②不正确，③正确，△AOM的面积＝△FON的面积， ∴S四边形OMFN＝△AOF的面积＝×2×＝（cm2），①正确， 当OM⊥AF时，OM最小，等边△OMN的面积最小＝××＝， ∴△FMN的面积＝﹣＝， ∴＝3，④正确； 故选：D． 5．如图，已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是AB、AD上两个动点，若AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG， （1）求∠BGE的大小； （2）求证：GC平分∠BGD． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形 ∴AD＝AB，∠BAD＝60° ∴△ADB是等边三角形 ∴AD＝AB＝BD，∠DAB＝∠ADB＝∠ABD ∵AE＝DF，∠DAB＝∠ADB＝60°，AD＝BD ∴△ADE≌△DBF（SAS） ∴∠ADE＝∠DBF 又∠BGE＝∠BDE+∠DBF ＝∠BDE+∠ADE＝∠ADB ∴∠BGE＝∠ADB＝60° （2）如图，过点C作CN⊥BF于点N，过点C