第十四讲 特殊平行四边形-矩形-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第十四讲 特殊平行四边形--矩形 目录 必备知识点 1 考点一 矩形的判定与性质 2 考点二 矩形中的最小值问题 7 考点三 矩形中的翻折问题 11 考点四 矩形中的证明与存在性 19 ( 知识导航 ) 必备知识点 一、矩形的性质与判定 定 义 示 例 剖 析 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 性 质 示 例 剖 析 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且相等； ②四个角都是直角； ③对角线互相平分且相等； ④是中心对称图形、轴对称图形． 除平行四边形性质外： ① =90°； ②AC=BD． 重要结论 示 例 剖 析 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ②在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． ① O是AC的中点，则． ② ，则． 判 定 ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形． ② 对角线相等的平行四边形是矩形． ③ 有三个角是直角的四边形是矩形． 考点一 矩形的判定与性质 1．如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，AB＝6，BC＝8，点P为AD边上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF＝　　． 【解答】解：连接OP， 在直角△ABD中，AB＝6，AD＝8， ∴BD＝＝10， ∴AO＝OD＝5， ∵△AOD的面积是 ×矩形ABCD的面积＝×8×6＝12 即△ODP的面积+△AOP的面积＝12， ∴AO•PE+OD•PF＝3， ∴×5（PE+PF）＝12， 解得：PE+PF＝． 故答案为． 2．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为 　16　． 【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8， ∴S阴＝8+8＝16， 故答案为16． 3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 　12　． 【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点， ∴EF∥BD，且EF＝BD＝3． 同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝AC＝4， 又∵AC⊥BD， ∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG． ∴四边形EFGH是矩形． ∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝3×4＝12，即四边形EFGH的面积是12． 故答案是：12． 4．如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，若AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则CM的长是 　　． 【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝8， ∴CG＝DG＝×8＝4， 在△DEG和△CFG中， ， ∴△DEG≌△CFG（ASA）， ∴DE＝CF，EG＝FG， 设DE＝x， 则BF＝BC+CF＝AD+CF＝4+x+x＝4+2x， 在Rt△DEG中，EG＝＝， ∴EF＝2， ∵FH垂直平分BE， ∴BF＝EF， ∴4+2x＝2， 解得x＝3， ∴AD＝AE+DE＝4+3＝7， ∴BC＝AD＝7， BF＝4+2x＝10， 如图，连接HE， ∵FH垂直平分BE， ∴BH＝EH， ∵AH2+AE2＝HE2， ∴（8﹣BH）2+16＝BH2， ∴BH＝5， ∵AB∥CD， ∴△CFM∽△BFH， ∴， ∴， ∴CM＝， 故答案为：． 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AB＝，则AF的长为 　　． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝，AO＝CO＝BO＝DO， ∵DF垂直平分OC， ∴OD＝DC， ∴OD＝DC＝OC， ∴△ODC是等边三角形， ∴OD＝OC＝CD＝， ∴AC＝2， ∴BC＝＝3， ∵△ODC是等边三角形，DE⊥AC， ∴∠CDE＝∠ODE＝30°， ∴DC＝CF＝， ∴CF＝1， ∴BF＝2， ∴AF＝， 故答案为：． 6．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③H为BF的中点；④CF＝DF．其中正确的有 　①②③　．（将所有正确结论的序号填在横线上） 【解答】解：①设AB＝a，则A