第十五讲 特殊平行四边形-正方形-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第十五讲 特殊平行四边形--正方形 目录 必备知识点 1 考点一 正方形半角模型 2 考点二 正方形的判定与性质 9 考点三 正方形的存在性 22 ( 知识导航 ) 必备知识点 一、正方形的性质与判定 定 义 示 例 剖 析 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 性 质 示 例 剖 析 正方形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且四边都相等； ②四个角都是直角； ③两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角； ④是中心对称图形、轴对称图形． 除平行四边形性质外： ① AB= BC=CD=AD； ②=90°； ③AC=BD，AC⊥BD，AC、BD分别为、的角平分线． 正方形轴对称性质（用时需证明） 正方形ABCD中，P为对角线BD上任一点． 结论：①AP=CP ②△ADP ≌△CDP ③△ABP ≌△CBP 判 定 ① 有一组邻边相等的矩形是正方形． ② 有一个角是直角的菱形是正方形． 二、正方形的半角模型 如图：正方形ABCD，∠EAF=45°．对角线BD与AE、AF分别相交于M、N，设正方形的边长为a，则： （1）MN2=BM2+DN2 （2）△BNA∽△CAM （3）BE+DF=EF． （4）△ECF的周长=2a （5）S△AEF=S△ABE+S△ADF （6）AE平分∠BEF，AF平分∠DFE （7）AE=AN，AF=AM，EF=MN． 考点一 正方形半角模型 1．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH＝8，则FG＝　5　． 【解答】解：如图所示，连接CG． 在△CGD与△CEB中 ∴△CGD≌△CEB（SAS）， ∴CG＝CE，∠GCD＝∠ECB， ∴∠GCE＝90°，即△GCE是等腰直角三角形． 又∵CH⊥GE， ∴CH＝EH＝GH． 过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N，则∠MHN＝90°， 又∵∠EHC＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴∠HEM＝∠HCN． 在△HEM与△HCN中， ∴△HEM≌△HCN（ASA）． ∴HM＝HN， ∴四边形MBNH为正方形． ∵BH＝8， ∴BN＝HN＝4， ∴CN＝BC﹣BN＝6﹣4＝2． 在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH＝2． ∴GH＝CH＝2． ∵HM∥AG， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3． 又∵∠HNC＝∠GHF＝90°， ∴Rt△HCN∽Rt△GFH． ∴，即， ∴FG＝5． 故答案为：5． 2．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①BG＝GC：②△ABG≌△AFG；③S△FGC＝3；④AG∥CF．其中正确结论是　①②④　． 【解答】解：①正确． 理由： EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x． 在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得x＝3． ∴BG＝3＝6﹣3＝GC； ②正确． 理由： ∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）； ③错误． 理由： ∵S△GCE＝GC•CE＝×3×4＝6 ∵GF＝3，EF＝2，△GFC和△FCE等高， ∴S△GFC：S△FCE＝3：2， ∴S△GFC＝×6＝≠3． 故③不正确． ④正确． 理由： ∵CG＝BG，BG＝GF， ∴CG＝GF， ∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF． 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG； ∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF， ∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF， ∴AG∥CF； ∴正确的个数有①②④． 故答案为：①②④． 3．如图，正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将AB边沿AE折叠到AF．延长EF交DC于G，点G恰为CD边中点，连接AG，CF，AC．若AB＝6，则△AFC的面积为 　3.6　． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， ∵将AB边沿AE折叠到AF， ∴AB＝AF，∠B＝∠AFB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△AFB中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AFB（HL）， ∴BE＝EF， 同理可得：DG＝FG， ∵点G恰为CD边中点， ∴DG＝FG＝3， 设BE＝x，则CE＝6﹣x，EG＝3+x， 在Rt△CEG中，由勾股定理得： （x+3）2＝32+（6﹣x）2， 解得x