第十二讲 平行四边形-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第十二讲 平行四边形 目录 必备知识点 1 考点一 平行四边形的判定与性质 2 考点二 三角形的中位线 10 考点三 平行四边形的存在性 16 ( 知识导航 ) 必备知识点 一、平行四边形的定义与性质 定 义 示 例 剖 析 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）． 平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点． 如右图的平行四边形不能表示成平行四边形 也不能表示成平行四边形ADBC． 四边形叫做平行四边形 性 质 示 例 剖 析 ① 平行四边形的对边平行且相等； 四边形为平行四边形 AB//DC且AB=DC AD//BC且AD=BC ② 平行四边形的对角相等； 四边形为平行四边形，． ③ 平行四边形的对角线互相平分． 四边形为平行四边形，． 重要结论 示 例 剖 析 ① 平行四边形是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点． Ⅰ．连接四边上任意一点和平行四边形的对称中心，与另一条边相交于一点，则这两个点关于平行四边形的对称中心对称． Ⅱ．经过平行四边形对称中心的任意一条直线都把平行四边形分成面积和周长相等的两部分． Ⅰ．四边形为平行四边形，、在上，且线段过点 Ⅱ． 　 ②四边形的知识是三角形知识的延伸，所以在解决平行四边形相关问题时，要结合三角形和全等三角形的知识综合运用． 二、平行四边形的判定 判 定 示 例 剖 析 ① 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 四边形 是平行四边形 ② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 四边形 是平行四边形 ③ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 四边形 是平行四边形 ④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 四边形 是平行四边形 ⑤ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 四边形 是平行四边形 考点一 平行四边形的判定与性质 1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝AC；③DN＝2NF；④S△AMB＝S△ABC．其中正确的结论是 　①②③　（只填序号）． 【解答】解：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， 又E、F分别是边AD、BC的中点， ∴BF∥DE，BF＝DE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE∥DF， ∴∠AMB＝∠ANF＝∠DNC， ∵∠BAM＝∠DCN，AB＝CD， ∴△ABM≌△CDN； E是AD的中点，BE∥DF， ∴M是AN的中点， 同理N是CM的中点， ∴AM＝AC， ∵DN＝BM＝2NF； ∴S△AMB＝S△ABC．不成立， ∴正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为　6　． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴∠BAC＝90°， ∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAE＝150°， ∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC， 在△ABC与△DBF中， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC＝DF＝AE＝3， 同理可证△ABC≌△EFC， ∴AB＝EF＝AD＝4， ∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∴∠FDA＝180°﹣∠DAE＝30°， 过F作FM⊥AD于M， ∵DF＝3，∠FDA＝30°， ∴FM＝DF＝1.5， ∴S▱AEFD＝AD•FM＝4×1.5＝6． 即四边形AEFD的面积是6． 故答案为：6． 3．如图，▱ABCD中，AE⊥BC于点E，F是AE上一点，FC⊥CD且FC＝CD，延长CF交AB于点M，连接EM． 求证：（1）△ABE≌△CFE； （2）MC﹣AM＝ME． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CF＝CD， ∴AB＝CD， ∵CF⊥CD， ∴CF⊥AB， ∵AE⊥BC， ∴∠AMF＝∠FEC＝90°， ∵∠AFM＝∠CFE， ∴∠BAE＝∠FCE， ∵∠AEB＝∠CEF， ∴△ABE≌△CFE（AAS）． （2）作EH⊥EM交CM于H． ∵△ABE≌△CFE， ∴AE＝CE， ∵∠MEH＝∠AEC＝90°， ∴∠MEA＝∠HEC， ∵AE＝CE，∠EAM＝∠ECH，