第3章 第5节 二次函数(二)-【新考典】2022广东中考数学课时分层练教师用书word

第5节 二次函数（二） A组 1. （2021宿迁改编）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示. （1） a ＞ 0； （2） b2﹣4ac ＜ 0； （3） 4a+b ＝ 1； （4）不等式ax2+bx+c ＞1的解集为 x≠1. （5）求不等式ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集. 解：∵点（1，1），（3，3）在直线y＝x上， 由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方. ∴ax2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3. 2.已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），且与x轴只有一个交点，则n的值为（　C　） A． B． C．1 D．2 3.抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　B　） A．B． C．D． B组 4.（2021徐州）如图，点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）若函数y＝x2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　4　个． 解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上，A，B的横坐标分别为﹣2、4， ∴A（﹣2，1），B（4，4）. 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴，解得 ∴直线AB的解析式为y＝+2. （2）在y＝+2中，令x＝0，则y＝2， ∴C的坐标为（0，2）. ∴OC＝2， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6． （3）提示：过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半， 作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半，所以这样的点P共有4个. C组 5.如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于B、C两点．抛物线y＝x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D． （1）求抛物线的解折式； （2）设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的連度匀速运动．设运动的时间为t秒． ①点P在运动过程中，若∠CBP＝15°，求t的值； ②当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值． 解：（1）令y＝x﹣3＝0，x＝3， ∴B的坐标为（3，0）， 令x＝0，y＝0﹣3＝﹣3， ∴C的坐标为（0，﹣3）. 将B，C代入y＝x2+bx+c， 得 解得 ∴抛物线的解折式y＝x²﹣2x﹣3. （2）由（1）知，OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， 记抛物线对称轴交x轴于E， ∵y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）²﹣4， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∴EB＝2， ∴顶点D的坐标为（1，﹣4）， 若∠CBP＝15°，则分两种情况， ①如图，当P在直线BC下方时， 此时∠EBP＝60°， ∴tan∠EBP＝＝， ∴EP＝2， ∴DP＝4﹣2， ∴t＝＝4﹣2， 当P在直线BC上方时， 此时∠EBP＝30°， ∴tan∠EBP＝＝， ∴EP＝， ∴DP＝4， ∴t＝＝4， 综上，t＝4﹣2或4； ②设P的坐标为（1，n）， 令y＝x²﹣2x﹣3＝0， x＝3或﹣1， ∴A的坐标分别为（﹣1，0）， 此时PC²＝1+（n+3）²＝n²+6n+10， PA²＝（1+1）²+n²＝4+n²， AC²＝1+3²＝10. 当∠PCA＝90°时，PC²+AC²＝AP²， n²+6n+10+10＝4+n². 解得n＝. ∴P的坐标为（1，），DP＝4＝， ∴t＝， 当∠APC＝90°时，AP²+PC²＝AC²， 4+n²+n²+6n+10＝10. 解得n＝﹣1或﹣2. ∴P的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣2）， DP＝4﹣1＝3或DP＝4﹣2＝2， ∴t＝3或2. 当∠PAC＝90°时，PA²+AC²＝CP²， n²+4+10＝n²+6n+10， 解得n＝. ∴P的坐标为（1，）， DP＝4+＝， ∴t＝， 综上，t＝或3或2或． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $