解三角形专题：多三角形问题-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）

解三角形专题：多三角形问题 一、多三角形问题 多三角形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形，试题重点考察学生对正余弦定理的掌握情况和转化与划归能力。 在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角（补角或余角）等图形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理与三角函数公式结合，才能得到问题的解决。 二、求解多个三角形问题解题思路： 1、求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型 2、第一步：把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； 第二步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； 第三步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； 第四步：结合三角恒等变换公式进行化简。 【注意】做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点， 如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质， 要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 题型一 将四边形切割成多个三角形 【例1】如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝． （1）求△ACD的面积； （2）若BC＝2，求AB的长． 【变式1-1】如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，． （1）求cos∠CBE的值； （2）求AE． 【变式1-2】在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求. 如图，在平面四边形中，，，______，，求. 【变式1-3】在平面四边形中，，，，． （1）求； （2）若，求． 【变式1-4】如图，在平面四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求的长． 【变式1-5】如图，在四边形中， （1）求的正弦值； （2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长. 【变式1-6】如图，在四边形中，，，，，， （1）求边的长； （2）求的面积. 【变式1-7】如图，在四边形中，，，. （1）若，求的面积； （2）若，，求的长 【变式1-8】如图，在平面四边形ABCD中，已知，点E在AB上且AE=2BE，． （1）求的值； （2）求的周长． 题型二 将三角形切割成多个三角形 【例2】如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，点D在线段BC上． （1）若∠ADC＝，求AD的长． （2）若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值． 【变式2-1】如图，已知在中，，，，点在边的延长线上． （）求的长； （）若，求的长． 【变式2-2】在 中，角，，的对边分别是，，，且满足，． （1）若，求的值； （2）若，在线段上，且，，求的长． 【变式2-3】如图，在 中，，，点 在线段 上． （1）若，求的长； （2）若，，求的长． 【变式2-4】如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，， 分别为线段 上的点，且，． （1）求线段的长； （2）求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形专题：多三角形问题 一、多三角形问题 多三角形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形，试题重点考察学生对正余弦定理的掌握情况和转化与划归能力。 在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角（补角或余角）等图形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理与三角函数公式结合，才能得到问题的解决。 二、求解多个三角形问题解题思路： 1、求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型 2、第一步：把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中； 第二步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形； 第三步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件； 第四步：结合三角恒等变换公式进行化简。 【注意】做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点， 如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质， 要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 题型一 将四边形切割成多个三角形 【例1】如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝． （1）求△ACD的面积； （2）若BC＝2，求AB的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】（1）因为∠D＝2∠B，cos B＝，所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－， 因为∠D∈(0，π)，所以sin D＝＝． 因为AD＝1，CD＝3， 所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝． （2）在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，所以AC＝2， 因为BC＝2，＝， 所以＝＝＝＝， 所以AB＝4． 【