第十讲 因式分解-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第十讲 因式分解 目录 必备知识点 1 考点一 因式分解高阶--换元法 1 考点二 拆、添项及配方法 3 考点三 因式分解--恒等变形 6 ( 知识导航 ) 必备知识点 因式分解 1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：. （2）公式法：运用平方差公式：.运用完全平方公式：. 考点一 因式分解高阶--换元法 分解因式： 【解答】令， 原式 又∵ ∴原式 【例1】 分解因式： ⑴； ⑵； ⑶． 【解答】⑴解法一：令，则 原式 解法二：令，则 原式 ； ⑵令，则 原式 ． 备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式 ， 设，则 原式 ． 【例2】 分解因式： ⑴ ⑵ 【解答】 ⑴原式，设， 原式 ⑵原式 设，原式 考点二 拆、添项及配方法 分解因式： 【解答】解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式 ． 解法四：原式 ． 【例3】 ⑴因式分解：若，则的值等于( ) A B C D ⑵若点的坐标满足，求点的坐标． 【解答】⑴ 故选C． ⑵原式 或 点的坐标为或 【例4】 分解因式： ⑴ ⑵ ⑶ 【解答】⑴ 原式 ⑵ 原式 ⑶法一 法二 【例5】 分解因式： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【解答】⑴ 原式 ⑵ 原式 ⑶ 法一：原式 法二：原式 法三：原式 ⑷法一：原式 法二：原式 考点三 因式分解--恒等变形 矩形的周长28cm，两边长为、，且，求矩形的面积． 【解答】由题得，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【例6】 ⑴设，试判断的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由； ⑵证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数； ⑶已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值． 【解答】⑴把进行因式分解得 把代入式子得原式是定值为0； ⑵ 原式 ∴一定是10的倍数； ⑶ ∵及有公因式 ∴ ∴ 即 即 ∴及的公因式为 即，． 【探究对象】 整式恒等变形用到的公式主要有平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，还用到下面的公式及变形： 【探究1】若，，求证：. 【解答】由可知， 故有． 又，故，即． 若，则，； 若，同理有； 若，则，同理也有． 【探究2】已知，且，求证中至少有一个为1. 【解答】设，则. 由可知， 故中至少有一个为0，即中至少有一个为0 故中至少有一个为1. 【备选例题】 设，求证：. 【解答】原式中的式子太多，不妨采用换元法. 设，则要证明的结论变为，已知条件变为. 等式左边的这个式子我们非常熟悉，可变形为，而，故原式得证. 【探究3】若，，， 求：①的值；②的值. 【解答】①由可知， 又，故 而， 故． 又，故． 　②， a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2-2ab2c-2abc2-2a2bc=-2abc(a+b+c) ， 　 从而可知，． 【例7】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式ax2+bx+c（a≠0）分解因式呢？我们已经知道： （a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2． 反过来，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 我们发现，二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么ax2+bx+c就可以分解为（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子x2﹣x﹣6分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝1×1，把常数项﹣6也分解为两个因数的积，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次项的系数﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解为（x+2）（x﹣3）． 请同学们认真观察和思考，