第十一讲 分式与分式方程-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第十一讲 分式与分式方程 目录 必备知识点 1 考点一 分式的混合运算及化简求值 2 考点二 分式方程的应用 3 考点三 分式方程的解 6 考点四 分式方程与不等式组含参问题 9 ( 知识导航 ) 必备知识点 一、分式的基本性质 定义 示例剖析 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即 约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，但不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.分子分母中没有公因式的分式叫做最简分式. 通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个分式变成分母相同的分式.为了通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 二、分式的运算 分式的乘法 分式的除法 分式的乘方 同分母分式相加减 异分母分式相加减 0指数幂 负整数指数幂 （，为正整数） 三、分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程． 2．可化为一元一次方程的分式方程的解法 ⑴解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程． ⑵可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤： ①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； ②解这个整式方程； ③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意：⑴增根能使最简公分母等于． ⑵增根是去分母后所得整式方程的根． 3．解分式方程产生增根的原因 增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根，即分式方程无解． 考点一 分式的混合运算及化简求值 1．先化简（1+）÷，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值． 【解答】解：原式＝•＝•＝x﹣2， 当x＝3时，原式＝3﹣2＝1． 2．先化简，再求值：（1﹣）÷+，其中x＝﹣2． 【解答】解：原式＝（）+ ＝+ ＝ ＝， 当x＝﹣2时， 原式＝＝＝＝1﹣． 3．先化简，再求值：，其中x是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的解． 【解答】解：原式＝[+]× ＝（+）× ＝× ＝， ∵x2+4x﹣1＝0， ∴x2+4x＝1， ∴原式＝． 4．先化简再求值：（a+3﹣）÷，其中a满足a2﹣a﹣4＝0． 【解答】解：原式＝÷ ＝• ＝• ＝， ∵a2﹣a﹣4＝0， ∴a2＝a+4， ∴＝1， 考点二 分式方程的应用 5．某市教育部门为了落实中共中央《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，确定初中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年级选考篮球的学生有350人，选考足球的学生有480人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每30人不少于一个足球，每15人不少于一个篮球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高20元，用480元单独购进篮球的个数与320元单独购进足球的个数相同． （1）足球与篮球的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这种足球与篮球共40个，且投入的经费不超过2100元，则共有几种购买方案？ 【解答】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元， 依题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， ∴x+20＝40+20＝60． 答：足球的单价为40元，篮球的单价为60元． （2）设购买足球y个，则购买篮球（40﹣y）个， 依题意得：， 解得：． 又∵y为正整数， ∴y＝16， ∴共1个购买方案，购买足球16个，篮球24个． 6．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元， 由题意得：＝2×， 解得：x＝50， 经检验，x＝，50是原方程的解，且符合题意， 则x+30＝