第九讲 图形的旋转-2021-2022学年八年级数学下册专题分类考点培优（北师大版）

第九讲 图形的平移 目录 必备知识点 1 考点一 平面直角坐标系中图形的旋转 2 考点二 特殊图形的旋转 5 考点三 运用旋转知识求最值--费马点 13 考点四 运用旋转知识求线段长度 21 ( 知识导航 ) 必备知识点 一、中心对称图形与中心对称 中心对称图形 中心对称 图 形 定 义 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称 性 质 对应点 点A与点C，点B与点D 点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′ 对应线段 AB=CD，AD=BC AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 对应角 ∠A=∠C∠B=∠D ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 区别 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 中心对称是指两个图形的关系 联系 把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称 把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形 二、特殊图形中的旋转 等腰直角三角形（旋转90°），等边三角形旋转（旋转60°），正方形旋转（旋转90°） 考点一 平面直角坐标系中图形的旋转 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，3），B（﹣2，4），C（﹣1，1）． （1）以x轴为对称轴画出△ABC的对称图形△A'B'C'； （2）画出△ABC绕点C按顺时针旋转90°后的△A″B″C； （3）直接写出A'、A″点的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求； （2）如图，△A″B″C即为所求； （3）由图形可知，A'（﹣3，﹣3），A''（1，3）． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点的坐标分别是A（﹣5，2），B（﹣2，4），C（﹣1，1）． （1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC关于x轴对称； （2）画出将△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转90°对应的△A2B2C2； （3）直接写出点B关于点C对称点的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）点B关于点C对称点的坐标为（0，﹣2）． 3．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1； （2）平移△ABC，若A的对应A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请画出旋转中心P． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）如图，点P为所作． 考点二 特殊图形的旋转 4．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG． （1）如图1，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？ （2）如图2，将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图3，将△BEF绕点B逆时针旋转180°，则（1）中的结论还成立吗？如果成立请选择三图中任一图加以证明；如果不成立，请说明理由． 【解答】（1）EG＝CG，且EG⊥CG． 证明：过GH⊥AB于点H，延长HG交CD于点I，作GK⊥AD于点K． 则四边形GIDK是正方形，四边形AKGH是矩形， ∴AK＝HG，KD＝DI＝GI＝AH， ∵AD＝CD， ∴IC＝HG， ∵AD∥GH∥EF，G是DF的中点， ∴HA＝HE， ∴HE＝GI， 在Rt△HGE和Rt△ICG中， ， ∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS）， ∴EG＝CG，∠HGE＝∠GCI，∠HEG＝∠CGI， ∴∠HGE+∠CGI＝90°， ∴∠EGC＝90°， ∴EG⊥CG； （2）成立． 证明：图2中，作GH⊥BC， 则EF∥GH∥CD， 又∵G是DF的中点， ∴EH＝CH， 则GH是EC的中垂线， ∴GE＝CG， ∵EF＝EB，BC＝CD ∴EF+CD＝EC， ∵G是DF的中点，EH＝CH， 则GH＝（EF+CD）， ∴GH＝EC， ∴△EGC是等腰直角三角形， ∴EG＝CG，且EG⊥CG； 图3中，延长FE交DC延长线于M，连MG． ∵∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°， ∴四边形BEMC是矩形． ∴BE＝CM，∠EMC＝90°， 由图（2）可知， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°， ∴∠EBF＝45°， 又∵EF⊥AB， ∴△BEF为等腰直角三角形 ∴BE＝EF，∠F＝4