6.3.2&6.3.3平面向量的正交分解及加、减法运算的坐标表示-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

6.3 平面向量基本定理 及坐标表示 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 &6.3.3 平面向量加、减法运算的坐标表示 复习导入 给定平面内两个不共线的向量由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解为两个向量，即，其中向量与共线，向量与共线. 不共线的两个向量互相垂直是一种很重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.如图，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解.正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形. 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便. 重力可以分解为这样两个力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力. 新知探索 思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 如图，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得. 这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作 ① 其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 新知探索 显然，，，. 如图，在直角坐标平面中，以原点为起点作，则点的位置由向量唯一确定. 设，则向量的坐标()就是终点的坐标；反过来，终点的坐标()也就是向量的坐标.因为，所以终点的坐标()就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 例析 例3.如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标. 解：由图可知，，所以. 同理，， ， 新知探索 辨析1：判断正误. (1)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量的终点坐标. （ ） (2)点的坐标与向量的坐标相同. （ ） (3)平面内的一个向量其坐标是唯一的. （ ） 答案：√，×，√. 辨析2：已知，则点位于（ ）. A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D. 新知探索 思考2：已知，你能得出的坐标吗？ 即 同理可得 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). 例析 例4.已知求的坐标. 解： 新知探索 思考3：如图，已知，，你能得出的坐标吗？ 如图，作向量，，则 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 新知探索 辨析3：已知则的坐标是（ ）. A. B. C. D. 辨析4：已知向量，，则向量的坐标是（ ）. A. B. C. D. 答案：C. 答案：B. 例析 解法1：如图，设顶点的坐标为 因为 又 所以 即解得 所以顶点的坐标为 例5.如图，已知 ABCD 的三个顶点的坐标分别是，，，求顶点的坐标. 例析 解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知 而 所以顶点的坐标为 例5.如图，已知 ABCD 的三个顶点的坐标分别是，，，求顶点的坐标. 练习 题型一：平面向量的坐标表示 例1.(1)已知分别是与轴、轴正方向相同的单位向量， 求向量的坐标. 解(1)：∵ ∴， 因此向量的坐标为 练习 例1.(2)已知边长为2的正三角形，顶点为坐标原点，边在轴上，点在第一象限，为的中点. ①求的坐标； ②求向量，，，的坐标. 解(2)：如图，正三角形的边长为2， 则顶点. ①. ②，， ， 练习 变1.如图，在平面直角坐标系中， .四边形为平行四边形.求向量的坐标. 解：如图，作轴于点， 则， . ∴故 ∵ ∴又∵∴ ∴，即 练习 方法技巧： 求平面向量坐标的方法 (1)若是分别与轴、轴同方向的单位向量，则当时，向量的坐标即为(). (2)向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标. (3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时，常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算. 练习 题型二：平面向量的加、减坐