专题12 立体几何综合题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）

专题12 立体几何综合题 1．（2021•广州一模）在边长为2的菱形中，，点是边的中点（如图，将沿折起到△的位置，连接，，得到四棱锥（如图． （1）证明：平面平面； （2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：菱形，且， 为等边三角形， 为的中点，， ，， 又，、平面， 平面， 平面， 平面平面． （2）解：由（1）知，平面平面， ，平面平面， 平面， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，0，，，0，， ，2，，，0，，，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令，则，，，0，， 设直线与平面所成角为，则，， 故直线与平面所成角的正弦值为． 2．（2021•深圳一模）如图，在四棱锥中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】在四棱锥中，，，，． （1）证明：取中点，连接、、， 又因为，所以， 因为，所以， 又因为，，所以， 所以，所以， 又因，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． （2）解：由（1）知平面， 又因为，所以， 于是、、、四点共圆，所以， 因为，，由勾股定理得， 因为，，由勾股定理得， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，0，，，6，，，0，，，3，，，3，， ，3，，，6，，，0，， 设平面与平面的法向量分别为，，，，，， ，令，，0，， ，令，，4，， 又因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 3．（2021•广州模拟）如图，平面平面，，，，为上一点，且 平面． （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成锐二面角为，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】解：（1）证明：因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，所以平面． （2）设，由（1）知平面，平面， 所以，建立如图所示的空间直角坐标系， ，1，，，0，，，1，，，0，，，0，， ，1，，，0，， 设平面的法向量为，，， ，令，，，， 平面法向量为，0，， 因为平面与平面所成锐二面角为， 所以，解得． 故． 4．（2021•福田区校级二模）在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，． （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】证明：（1），，，， 为直角三角形，且， 同理，，，， 为直角三角形，且， 又四边形是正方形，， 又，． 在梯形中，过点作作于， 四边形是正方形，． 在中，，．， ，，． ，，．平面，平面． 平面， 又平面，， 因为，平面，平面． 平面，平面，平面平面． 解：（2）以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图， ，0，，，0，，，1，，，2，．令，，， 则，，，，2，， ，，，，2，， ，，．，1，，， 平面，，1，是平面的一个法向量． 设平面的法向量为，，． 则．令，得，1，， ， 二面角的平面角的余弦值为． 5．（2021•广东一模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，， 平面， 平面，， 在直角梯形中，， ， ，，，即， 又，、平面， 平面． （2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，0，，，1，，，4，， ，0，，，1，，，4，， 设，，，则，0， ，1，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令，则，，，1，， 与平面所成角的正弦值为， ，， 化简得，解得， 故线段上存在点满足题意，且． 6．（2021•惠州一模）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接、． （1）求证：平面平面； （2）当二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：是圆的切线，， 由圆锥的性质知，平面平面， 平面平面，平面， 平面， ， ，，， 又，、平面， 平面， 平面， 平面平面． （2）解：，且为的中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， ，， 为二面角的平面角，即， ， 在中，，， ， 四棱锥的体积． 7．（2021•深圳模拟）如图，在直四棱柱中，，，，，点和分别在侧棱、上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）证明：如图所示，分别取，的中点，，连结，，， 则有是梯形的中位线，故，且， 因为，， 所以，且， 所以四边形是平行四