第01讲 三角形三大模型之角平分线模型-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期精选专题思维拓展演练（苏科版）

第1讲 三角形三大模型之角平分线模型 知识图谱 典题精练 【例1】佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现,在一个三角形中,两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关. 测量数据如下表: 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分 线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … (1)通过以上测量数据,请你写出与的数量关系:_.(2)如图,在中,若与的平分线交于点,则与存在怎样的数量关系?请说明理由. 【答案】(1);(2),理由见解析 【解析】(1)根据题意,设,∴,解得:,∴. (2). 理由:∵与的平分线交于点, ∴,. ∵,∴. ∵是的外角,∴,∴. 【例2】如图,∠CBF、∠ACG是△ABC的外角,∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC、∠CBF的平分线BD、BE交于点D、E. (1)若∠A=70°,求∠D的度数: (2)若∠A=α,求∠E; (3)连接AD,若∠ACB=β,则∠ADB=_. 【答案】(1)∠D==35°; (2)∠E=90°-α; (3)β. 【例3】已知四边形ABCD,AB∥CD,∠A=∠C. (1)如图1,求证:AD∥BC; (2)如图2,点E是BA延长线上的一点,连接CE,∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P.求证:∠BPC=90°-∠BCE; (3)如图3,在(2)的条件下,CE与AD,BP分别相交于点F,G.CQ平分∠BCD,∠AFE=∠BPC,∠D=4∠DCP.求∠GCQ的度数. 【解析】解:(1)∵AB∥CD, ∴∠B+∠C=180°, ∵∠A=∠C, ∴∠B+∠A=180°, ∴AD∥BC; (2)∵BP平分∠ABC,CP平分∠ECD, ∴∠ABC=2∠PBC,∠ECD=2∠ECP, ∵∠ABC+∠BCD=180°, ∴2∠PBC+∠BCE+2∠ECP=180°, 即:∠PBC+∠BCE+∠ECP=90°, ∵∠BPC+∠PBC+∠BCE+∠ECP=180°, ∴∠BPC+∠BCE=90°, ∴∠BPC=90°-∠BCE; (3)∵∠AFE=∠BPC,∠BPC=90°-∠BCE; ∴∠AFE=90°-∠BCE, ∵AD∥BC, ∴∠BCE=∠AFE=90°-∠BCE; 解得∠BCE=60°, ∴∠AFC=180°-∠BCE=120°,∠BPC=60°, ∵∠AFC=∠D+∠DCE,∠D=4∠DCP, ∴4∠DCP+∠DCE=120°, ∵∠DCE=2∠DCP, ∴6∠DCP=120°, 解得∠DCP=∠ECP=20°, ∴∠B=∠D=80°, ∴∠PCB=40°, ∵∠PCB+∠P+∠BCP=180°, ∴∠BCP=180°-40°-60°=100°, ∵CQ平分∠BCP, ∴∠BCQ=50°, ∴∠GCQ=∠BCE-∠BCQ=60°-50°=10°. 【例4】已知:多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM,DN. (1)若多边形为四边形ABCD. ①如图1,∠A=50°,∠C=100°,BM与DN交于点P,求∠BPD的度数; ②如图2,猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时,BM∥DN,并证明你的猜想. (2)如图3,若多边形是五边形ABCDG,已知∠A=140°,∠G=100°,∠BCD=120°,BM与DN交于点P,求∠BPD的度数. 【答案】(1)①25°;②当∠A=∠C时,BM∥DN;(2)30°. 【解析】解:(1)①∵∠A=50°,∠C=100°, ∴在四边形ABCD中, ∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=210°, ∴∠CBE+∠CDF=150°. ∵外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM,DN, ∴∠PBC+∠PDC=∠CBE+∠CDF=(∠CBE+∠CDF)=×150°=75°, ∴∠BPD=360°-∠A-(∠ABC+∠ADC)-(∠PBC+∠PDC)=360°-50°-210°-75°=25°; ②当∠A=∠C时,BM∥DN. 证明:如图,连接BD. ∵BM∥DN, ∴∠BDN+∠DBM=180°, ∴∠FDN+∠ADB+∠ABD+∠MBE=360°-180°=180°, 即(∠FDC+∠CBE)+(∠ADB+∠ABD)=180°, ∴(360°-∠ADC-∠CBA)+(180°-∠A)=180°, ∴(360°-360°+∠A+∠C)+(180°-∠A)=180°, ∴∠A=∠C. (2)如图,延长DC交BP于点Q. ∵∠A=140°,∠G=100°,∠BCD=120°, ∠A+∠ABC+∠BCD+∠CDG+∠G=540°, ∴∠ABC+∠CDG=180°, ∴∠CBE+∠CDF=360°-180°=180°, ∵BP平分∠CBE,DP平分∠CDF, ∴∠CBP+∠CDP=(∠CBE+∠