专题9.1 图形的旋转、中心对称-重难点题型-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）【学科网名师堂】

专题9.1 图形的旋转、中心对称-重难点题型 【苏科版】 【知识点1 旋转的定义】 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 【知识点2 旋转的性质】 旋转的特征： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2） 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 【考点1 旋转对称图形】 【例1】（2021秋•丰润区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（　　） A．60° B．72° C．75° D．90° 【分析】根据五角星的五个顶点等分圆周，所以出现正五边形，进而可得结论． 【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周， 所以360°÷5＝72°， 所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合， 那么这个角度至少为72°． 故选：B． 【变式1-1】（2021•南关区四模）如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（　　） A．30 B．60 C．120 D．180 【分析】观察可得图形有6部分组成，从而可得旋转角度． 【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转60°后，能与其自身重合． 故选：B． 【变式1-2】（2021秋•海淀区校级月考）如图是一个旋转对称图形，若将它绕自身中心旋转一定角度之后能与原图重合，则这个角度可能为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】如图，观察图形可知：∠AOB＝∠EOF＝60°，推出旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合，由此即可判断． 【解答】解：如图，观察图形可知：∠AOB＝∠EOF＝60° ∴旋转角是60°的倍数时，旋转后可以与原来图形重合， 故选：C． 【变式1-3】（2021春•高平市期末）下列图形中，是旋转对称图形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可． 【解答】解：旋转对称图形是从左起第（1），（2），（3）；不是旋转对称图形的是（4）． 故选：C． 【考点2 由旋转的性质求角的度数】 【例2】（2021秋•川汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝40°．将△ABC绕顶点A逆时针旋转一定的角度得到△AB′C′，并使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠BB'C'的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据旋转可得∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°，得∠ABB′＝∠AB'B＝65°，进而可得∠BB'C'的度数． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°． ∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上， ∴∠BAB′＝∠ABAC＝50°，A′B＝AB，∠C＝∠AC'B'＝90°， ∴∠ABB′＝∠AB'B（180°﹣50°）＝65°， ∴∠BB'C'＝90°﹣∠ABB'＝90°﹣65°＝25°， 故选：B． 【变式2-1】（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）后得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，若AF＝AD，则旋转角α的度数为（　　） A．50° B．40° C．30° D．20° 【分析】根据旋转的性质得∠DCA＝α，CD＝CA，则∠CDA＝∠CAD（180°﹣α）＝90°α，利用三角形外角的性质得∠DFA＝30°+α，AF＝AD，利用等腰三角形的性质得30°+α＝90°α，即可得到α的值． 【解答】解：∵△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC， ∴∠DCA＝α，CD＝CA， ∴∠CDA＝∠CAD（180°﹣α）＝90°α， ∵AF＝AD， ∴∠ADF＝∠AFD， ∵∠DFA＝30°+α， ∴90°α＝30°+α， 解得α＝40°； 故选：B． 【变式2-2】（2021秋•泰山区期末）小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转角度不超过180°）．若两块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是（　　） A．15°或45° B．15