2.3 垂径定理(课件PPT)-【优翼·学练优】2021-2022学年九年级下册初三数学（湘教版）

2.3 垂径定理 第2章 圆 优 翼 课 件 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学练优九年级数学下（XJ） 教学课件 学习目标 1.进一步认识圆，了解圆的对称性. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 导入新课 问题引入 问题1圆是轴对称图形吗？ 问题2它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆是轴对称图形 其对称轴是直径所在的直线 无数条 问题3你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 导入新课 讲授新课 垂径定理及其推论 一 做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，AC与CB，你能发现什么结论？ ⌒ ⌒ · O A B D P 互动探究 C 线段: AP=BP 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D P C 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ · O A B D C P 试一试 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP， AC =BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD =BD. 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD， ⌒ ⌒ ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD.(结论) 归纳总结 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 议一议 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 例1 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 已知：如图，⊙O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD. 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ . M C D A B O N ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 典例精析 例2 如图，☉O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长. · O A B E C D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ 设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索： · O A B D C P 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），与CD交于点P，且P是AB的中点. 求证：AB⊥CD， ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 试一试 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB. 即△AOB是等腰三角形. ∵P是AB的中点， ∴AB⊥CD. 即AP=BP， ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 垂径定理的本质是: 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 例3 如图，在⊙O中，点C是AB的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2．求的⊙O半径