第07讲 实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧-2021-2022学年七年级数学下册常考点（数学思想+解题技巧+专项突破+精准提升）

第07讲 实数中蕴含的数学思想及实数大小比较技巧（原卷版） 第一部分 专题典例剖析+针对训练 专题1特殊到一般的思想 专题解读：各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想、归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形．例如我们通过研究一些正数、0、负数的平方根或立方根，从而归纳、总结出平方根、立方根的性质． 典例1 请你观察下列计算过程：因为112=121，所以=11；用样，因为1112=12321，所以=111；…；由此猜想=________． 针对训练1 1．观察下面的式子：2，3，4请你将猜想到的规律用含正整数n（n＞1）的式子表示出来是　 　． 专题2 转化思想 专题解读：转化思想就是将一个待解决的问题A，转化为另一个较容易解决或已经解决的问题B，从而获得问题A的答案．转化思想是数学中的核心思想．如：求一个负数的立方根转化为求一个正数立方根的相反数，求无理数的混合运算可以通过取近似数转化为有理数的运算，比较两个同次根无理数的大小可以转化为比较两个有理数的大小． 典例2 （2021秋•信都区期中）比较大小：和． 针对训练2 2．（2021秋•榆阳区校级月考）通过估算比较与的大小？ 专题3 分类思想 专题解读：当一个问题包含有多种情形时，需要逐一讨论，然后汇总得出问题的答案．如在本章中对实数进行分类时，如果按不同的标准，就有不同的分类方法． 实数， 实数． 典例3 求方程(x－3)2＝9中x的值． 针对训练3 3．求x的值：4（x﹣1）2＝25． 专题4 数形结合思想 专题解读：“数”与“形”是对立统一的，借助于数轴，可以把抽象的无理数或实数直观地表示出来，达到“以形启数”、“以数助形”的目的． 典例4 实数a、b在数轴上的位置如图6－1所示，请化简|a＋b|＋． 图6－1 针对训练4 4．（2021秋•福田区校级期末）a、b、c在数轴上的位置如图所示，则： （1）用“＜、＞、＝”填空：﹣b　＞　0，b﹣a　＞　0，a﹣c　＜　0； （2）化简：|﹣b|﹣|b﹣a|+|a﹣c|． 5．（2021春•崇川区校级月考）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简：|b+c|． 专题5 实数的大小比较 在比较两个实数大小时候，要根据题目的特点，选用不同的方法，下面给出几种常见的比较方法． 方法一、绝对值比较法 典例5 比较－与－的大小． 典例6 当0＜x＜1时，x2,x,从小到大的顺序是 . 方法三、取近似值法 典例7 比较－和的大小． 方法四、平方法 典例8 比较和8的大小 方法五、放缩法 典例9 比较与的大小． 针对训练5 6．（2021秋•双牌县期末）比较大小：6　 　7（填＞，＜，＝）． 7．（2021秋•南京期末）比较大小：　　1．（填“＞”、“＜”或“＝”）． 8．（2021秋•鼓楼区期末）比较大小：1 　　3（填“＞”、“＜”或“＝”）． 9．（2012春•淮北校级月考）规定一种新运算：a△b＝a•b﹣a+1，如3△4＝3×4﹣3+1，请比较﹣3△与△（﹣3）的大小． 第2部分 专题提优训练 1．（2021秋•苏家屯区期末）比较大小：（　　）． A．＜ B．＞ C．＝ D．≤ 2．（2017春•蔚县校级月考）请你观察思考下列计算过程： ∵112＝121，∴11． 同样：∵1112＝12321，∴111． ∵11112＝1234321，∴ 　， … 由此猜想：　 　． 3．（2019春•青县期末）请阅读下列材料： 一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么正数x就叫做a的算术平方根，记作（即x），如32＝9，3就叫做9的算术平方根． （1）计算下列各式的值：　 　，　 　，　 　； （2）观察（1）中的结果，，，这三个数之间存在什么关系？　　 ； （3）由（2）得出的结论猜想：　　（a≥0，b≥0）； （4）根据（3）计算：　 　，　　，　 　（写最终结果）． 4．（2019春•全椒县期中）观察下列等式： ① ② ③ ④ （1）写出第⑤个等式：　　； （2）猜想：第n个等式（n≥1的自然数）是什么？并证明你的猜想． 5．（2017秋•宝丰县期中）利用已知算术平方根等式探究规律 ①2；②3；③4；④5． （1）写出分数中分母a与序号n之间的关系； （2）猜想写出第6个等式； （3）用字母n（n为正整数）表示上述规律． 6．（2021秋•东台市期末）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题： （1）求的整数部分和小数部分； （2）若m是的整数部分，且（x+1）2＝m，求x的值． 7．（2021秋•新华区校级月考）已知|x|，y是3的算术平方根，根x﹣y，求x+y的