专题08 多选压轴题-备战2022年新高考数学模拟试题分类汇编（广东专用）

专题08 多选压轴题 1．（2021•广州一模）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，；第次得到数列1，，，，，，2；．记，数列的前项和为，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】由，，，， ，，， 由有3项，有5项，有9项，有17项，， 故有项．故错误； 所以，即，故正确； 由，可得，故正确； 由 ，故正确． 2．（2021•深圳一模）在空间直角坐标系中，棱长为1的正四面体的顶点，分别为轴和轴上的动点（可与坐标原点重合），记正四面体在平面上的正投影图形为，则下列说法正确的有　　 A．若平面，则可能为正方形 B．若点与坐标原点重合，则的面积为 C．若，则的面积不可能为 D．点到坐标原点的距离不可能为 【答案】 【详解】对于：若平面，考虑一下特殊情形； ①当点与坐标原点重合时，为正方形， ②当点与坐标原点重合时，为三角形，故正确； 对于：若点原点重合，即在轴上， 易知：平面，且为三角形， 不难知道，其面积为，故正确； 对于：当时，且点在正四面体的外部时， 则点恰好为以，，，为棱的正方体的一个顶点， 由于，所以， 所以为以边长为的正方形，其面积为，故错误； 对于：设的中点为，则，且， 易知，即， 所以点到坐标原点的距离小于，故正确． 3．（2021•湛江一模）在梯形中，，将沿折起，使到的位置与不重合），，分别为线段，的中点，在直线上，那么在翻折的过程中　　 A．与平面所成角的最大值为 B．在以为圆心的一个定圆上 C．若平面，则 D．当平面时，四面体的体积取得最大值 【答案】 【详解】如图，在梯形中，因为，， 所以得到，，， 在将沿翻折至的过程中，与的大小保持不变， 由线面角的定义可知，与平面所成角的最大值为，故选项正确； 因为大小不变，所以在翻折的过程中，的轨迹在以为轴的一个圆锥的底面圆周上， 而是的中位线，所以点的轨迹在一个圆锥的底面圆周上， 但此圆的圆心不是点，故选项不正确； 当平面时，，因为， 所以，所以，故选项正确； 在翻折的过程中，△的面积不变，故 当平面时，四面体的体积取得最大值，故选项正确． 4．（2021•福田区校级二模）已知正方体棱长为2，如图，为上的动点，平面．下面说法正确的是　　 A．直线与平面所成角的正弦值范围为 B．点与点重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C．点为的中点时，若平面经过点，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形 D．已知为中点，当的和最小时，为的中点 【答案】 【详解】对于选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则点，0，、，2，， 设点，2，，平面，则为平面的一个法向量， 且，，， 所以，直线与平面所成角的正弦值范围为，选项正确； 对于选项，当与重合时，连接、、、， 在正方体中，平面， 平面，，四边形是正方形，则，，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 易知△是边长为的等边三角形， 其面积为，周长为． 设、、、、、分别为棱、、、、、的中点， 易知六边形是边长为的正六边形，且平面平面， 正六边形的周长为，面积为， 则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，选项错误； 对于选项，设平面交棱于点，0，，点，2，，， 平面，平面，，即，得，，0，， 所以，点为棱的中点，同理可知，点为棱的中点， 则，1，，，而，，且， 由空间中两点间的距离公式可得，， ， 所以，四边形为等腰梯形，选项正确； 对于选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如下图所示： 若最短，则、、三点共线，，， ， 所以，点不是棱的中点，选项错误． 5．（2021•广东一模）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是　　 A．无解 B．的解为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】 【详解】， 设，， 则， 若，则， 则的轨迹是以，为焦点的椭圆， 此时，，即，， 即椭圆方程为，当时，得，得，得，故错误，正确， 关于对称点为， 则，当，，三点共线时，最小，此时，无最大值， 故正确，错误 6．（2021•惠州一模）在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有　　 A．存在点使得异面直线与所成角为 B．存在点使得异面直线与所成角为 C．存在点使得二面角的平面角为 D．当时，平面截正方体所得的截面面积为 【答案】 【详解】对于，连接、，交于，连接， 取点为时，连接，因为、， 所以平面，又因为平面， 所以