专题17.10 一元二次方程章末重难点突破-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）【学科网名师堂】

专题17.10 一元二次方程章末重难点突破 【沪科版】 【考点1 一元二次方程的概念】 【例1】（2020秋•奈曼旗月考）关于x的方程（m2﹣16）x2+（m+4）x+2m+3＝0，当m　　时，是一元一次方程；当m　 　时，是一元二次方程． 【分析】利用一元二次方程和一元一次方程定义进行解答． 【解答】解：由题意得：m2﹣16＝0，且m+4≠0， 解得：m＝4， 由题意得：m2﹣16≠0， 解得：m≠±4， 故答案为：＝4；≠±4． 【变式1-1】（2021秋•武邑县校级月考）已知关于x的方程（m+1）8x+2＝0是一元二次方程，则m＝　 　． 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解． 一元二次方程必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0． 由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：由题意得： 解得m＝﹣1， 故答案是：﹣1． 【变式1-2】关于x的方程（k2﹣6k+12）x2＝3﹣（k2﹣9）x是一元二次方程的条件是k　为任何实数　． 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：∵关于x的方程（k2﹣6k+12）x2＝3﹣（k2﹣9）x是一元二次方程， ∴k2﹣6k+12≠0， ∵△＝36﹣48＝﹣12＜0， ∴k2﹣6k+12＝0无解， 则关于x的方程（k2﹣6k+12）x2＝3﹣（k2﹣9）x是一元二次方程的条件是k为任何实数． 故答案为：为任何实数． 【变式1-3】（2021•广东）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为 　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可，注意答案不唯一． 【解答】解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3， ∴满足条件分方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一）， 故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）． 【考点2 一元二次方程的解】 【例2】（2021•武汉模拟）已知a是方程x2+x﹣2021＝0的一个根，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C． D． 【分析】首先根据a是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的一个根得到a2+a﹣2021＝0，进一步得到a2+a＝2021，然后将代数式化简后整体代人即可求得答案． 【解答】解：∵a是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的一个根， ∴a2+a﹣2021＝0， ∴a2+a＝2021， ∴ ， 故选：D． 【变式2-1】（2021•三台县一模）设方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a，2a3+a2﹣3a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3 【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2＝﹣a+1，再用a表示a3，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：方程x2+x﹣1＝0的一个正实数根为a， ∴a2+a﹣1＝0， ∴a2＝﹣a+1， ∴a3＝﹣a2+a＝﹣（﹣a+1）+a＝2a﹣1， ∴2a3+a2﹣3a＝2×（2a﹣1）﹣a+1﹣3a＝4a﹣2﹣a+1﹣3a＝﹣1． 故选：B． 【变式2-2】（2021春•拱墅区校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为　2019　． 【分析】因为a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，所以a2﹣a﹣1＝0，所以a2﹣a＝1，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴a2﹣a﹣1＝0， ∴a2﹣a＝1． ∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020 ＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020 ＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020 ＝﹣（a+1﹣a）+2020 ＝﹣1+2020 ＝2019． 故答案为：2019． 【变式2-3】（2021春•海淀区校级期末）已知x2﹣4x+1＝0，则的值为 　 　． 【分析】首先根据x2﹣4x+1＝0得到x2+1＝4x，两边同时除以x得：x4，然后对分式求其倒数，从而求得答案． 【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0， ∴x2+1＝4x， 两边同时除以x得：x4， ∴ ＝2x2﹣1 ＝2（x2）﹣1 ＝2[（x）2﹣2]﹣1 ＝2（42﹣2）﹣1 ＝27， ∴． 故答案为：． 【考点3 解一元二次方程】 【例3】（2020秋•武侯区校级月考）解方程： （1）2（x+1）20； （2）（x+1）（x﹣3）＝﹣2； （3）x（x+3）＝5（x+3）； （4）（2x+1）2﹣3（2x+1）﹣28＝0． 【分析】（1）移项，方程两边除以2，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）整理后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可