专题17.8 一元二次方程的应用-重难点题型-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）【学科网名师堂】

专题17.8 一元二次方程的应用-重难点题型 【沪科版】 【知识点1 列一元二次方程解应用题的一般步骤】 ①审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； ②设：用字母表示题目中的一个未知量； ③列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； ④解：解方程求出未知数的值； ⑤验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； ⑥答：写出答案，包括单位名称. 【题型1 面积问题】 【例1】（2020秋•紫阳县期末）如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为135m2，求道路的宽度． 【分析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（16﹣x）（10﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案． 【解答】解：原图经过平移转化如图所示， 设道路宽为xm， 根据题意，得（16﹣x）（10﹣x）＝135， 整理得：x2﹣26x+25＝0， 解得：x1＝25（不合题意，舍去），x2＝1． 则道路宽度为1m． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 【变式1-1】（2020秋•仙居县期末）为创建“绿色校园”，某学校准备将校园内一块长34m，宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为608m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形） 【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为608m2列出方程求解即可． 【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得 （34﹣2x）（20﹣x）＝608， 整理，得x2﹣37x+36＝0． 解得x1＝1，x2＝36， ∵36＞20（不合题意，舍去）， ∴x＝1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程． 【变式1-2】（2021春•鄞州区期中）在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m的墙AB建造面积为450m2的长方形区域来养一些家禽，该单位给贫困户提供65m长的篱笆（全部用于建造长方形区域），并提供如图所示的两种方案： （1）如图1，若选取墙AB的一部分作为长方形的一边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB上借用的CF的长度为多少？ （2）如图2，若将墙AB全部借用，并在墙AB的延长线上拓展BF，构成长方形ADEF，BF，FE，ED和DA都由篱笆构成，求BF的长． 【分析】（1）设CF的长度为xm，则CD m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙AB的长为25m，即可确定x的值； （2）设BF的长为ym，则AD＝（20﹣y）m，由长方形的面积为450m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）设CF的长度为xm，则CD m， 依题意得：x•450， 解得：x1＝20，x2＝45． ∵墙AB的长为25m， ∴x＝45不合题意，舍去， ∴CF＝20． 答：在墙AB上借用的CF的长度为20m． （2）设BF的长为ym，则AD（20﹣y）m， 依题意得：（25+y）（20﹣y）＝450， 解得：y1＝5，y2＝﹣10（不合题意，舍去）， ∴BF＝5m． 答：BF的长为5m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1-3】（2021春•萧山区期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米． （1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝　 　米． （2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长． （3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【分析】（1）由木栏总长为45米，即可求出BC的长； （2）设CD＝x（0＜x≤15）米，则BC＝（48﹣3x）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为27米（AD＝BC），即可确定结论； （3）设CD＝y（0＜y≤15）米，则BC＝（48﹣3y）米，根据饲养场（矩形ABCD）的面积为210平方米，即可