专题17.7 一元二次方程的根与系数关系-重难点题型-2021-2022学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）【学科网名师堂】

专题17.7 一元二次方程的根与系数的关系-重难点题型 【沪科版】 【知识点1 一元二次方程的根与系数的关系】 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【题型1 利用根与系数的关系求代数式的值】 【例1】（2020秋•普宁市期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝　 　． 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， ∴原式＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4， 故答案为：4 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 【变式1-1】（2021•龙马潭区模拟）设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为　 　． 【分析】欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣3， ∴5． 故答案为﹣5． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【变式1-2】（2020秋•解放区校级月考）一元二次方程x2+4x+1＝0的两个根是x1，x2，则的值为　 　．（其中x2＞x1） 【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，再通过通分和完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣4，x1x2＝1， 所以 ＝﹣8． 故答案为﹣8 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 【变式1-3】（2020秋•淇滨区校级月考）已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，则式子的值为　 　． 【分析】利用根与系数的关系可得出a+b，a•b，进而可得出a＜0，b＜0，再将a+b，a•b代入中即可求出结论． 【解答】解：∵a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根， ∴a+b，a•b， ∴a＜0，b＜0， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及实数的运算，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【题型2 利用根与系数的关系求系数字母的值】 【例2】（2021•成都模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　． 【分析】根据判别式的意义得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范围，然后根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16变形为﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后即可确定满足条件的k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根， ∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0， 解得k， 由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k， ∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16． ∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16， 即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16， ∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16， 整理得k2﹣2k﹣15＝0， 解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3． ∴k＝﹣3， 故答案为﹣3． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 【变式2-1】（2019秋•萍乡期末）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝　 　． 【分析】根据根与系数的关系求得x1+x2＝2，x1•x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，然后将其代入已知等式列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1、x2， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0， ∴x12﹣x1＝﹣m+x1， ∵x12﹣x1+x2＝3x1x2， ∴﹣m+x1+x2＝3x1x2， 即﹣m+2＝3m， 解得：m， 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系．解题时，借用了“一元二次方程的解的定义”这一知识