第9章 平面向量单元测试卷（单元培优）-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第二册）

平面向量单元测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列结论中正确的为      A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B. 向量与向量的长度相等 C. 对任意向量，是一个单位向量 D. 零向量没有方向 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查向量的相关概念，属于基础题． 根据向量的概念判断各个选项． 【解答】 解：选项，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A不正确 选项，向量是向量是的负向量，方向相反，长度相等，故B正确 选项，当时，无意义，故C不正确 选项，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D不正确． 故选B．    2. 已知，，向量与垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查向量的数量积的运算及向量垂直，属于基础题． 因为向量与垂直，所以两个向量的数量积等于，利用坐标展开计算即可得到的值． 【解答】 解：向量与垂直， ， 即， ， ． 故答案选：．    3. 已知菱形的边长为，，点是上靠近的三等分点，则在上的投影向量的模长为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了向量线性运算的几何意义，向量数量积的运算以及向量的投影，先利用题目给出的条件得到，然后根据在上的投影向量的模长为，代入数值求解即可属于中档题． 【解答】 解：如图，作，，因为是上靠近的三等分点，， 所以，也都是三等分点， 所以， ， 所以在上的投影向量的模长为． 故选B．   4. 设等边三角形的边长为，平面内一点满足，则向量与夹角的余弦值为  A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，属于中档题． 由，两边平方得，且，由向量数量积公式求解． 【解答】 解：由， 得， 则， 又， 向量与夹角的余弦值为：． 故选D．    5. 如图，、是半径为的圆的两条直径，，则   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查平面几何中的向量方法，向量在平面几何中的应用，属于基础题； 由，，且，即可求解． 【解答】 解：，，且， 所以 ． 故选B．    6. 已知向量，若，则        A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查向量的数量积，考查向量的模，考查平面向量的坐标运算，属于基础题． 由已知求得，即可得到，即可求得． 【解答】 解：由已知向量， 又， ， 即， ， ， 故选A．    7. “勾股弦”是勾股定理的一个特例．据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了多年．如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，为上的一点，若，则的值为    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查平面向量的坐标运算，属于中档题． 首先建立平面直角坐标系，根据已知求出各个点的坐标，然后求出，，根据向量垂直列出方程求出参数，进而利用向量相等列出方程组即可求出结果． 【解答】 解： 由题意建立如图所示平面直角坐标系． 因为，，则，，， ，， 设，因为， 所以 ，解得， 由得 所以，解得 所以． 故选：．    8. 在平面上，，，，若，则的取值范围是    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查了向量的加减法以及向量的模，是一道难题． 根据向量的数量积和向量的加减法可得，由的取值范围算出的范围． 【解答】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即 故选D 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 已知向量，，则    A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 本题考查的是向量相等的充要条件，向量平行和垂直的坐标表示，向量的模和夹角． 根据题意得出的坐标，由平行的坐标表示判断； 由垂直的坐标表示判断； 由向量模的坐标表示判断； 由向量数量积的坐标运算及向量的夹角公式判断． 【解答】 解：设， ，， ，解得 ， 对于：，，，与不平行，故A错误； 对于：，，，，故B正确； 对于：，，，故C正确； 对于：，，，故D正确．    10. 下列命题中正确的是： A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向 B. 已知，且，则 C. 若，，，为锐角，则实数的取值范围是 D. 若非零向量，满足则与的夹角是 【答案】AD 【解析】 【分析】 本题考查了向量的模、向量的夹角、向量的数量积和平面向量的坐标运算，平面向量共线与垂直的判定，属基础题． 由运算可得，即可判定；由时的结论即可判定；由坐标运算，，并求解当与同向共线时的结论即可判定；由向量的