专题2.1 两条直线的位置关系-重难点题型-2021-2022学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版）【学科网名师堂】

专题2.1 两条直线的位置关系-重难点题型 【北师大版】 【知识点1 对顶角与邻补角】 1.对顶角 ①定义一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. ②对顶角的性质：对顶角相等. 2.邻补角 ①定义有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角. ②邻补角的性质：邻补角互补. 【题型1 对顶角与邻补角的性质】 【例1】（2021春•甘井子区期末）如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（　　） A．∠1＝72° B．∠2＝120° C．∠3＝144° D．∠4＝36° 【分析】先用∠1表示∠3，再根据平角定义得∠1的度数，然后根据对顶角和邻补角得其它几个角的度数可得答案． 【解答】解：∵2∠3＝3∠1， ∴∠3∠1， ∵∠3+∠1＝180°， ∴∠1+∠1＝180°， ∴∠1＝72°， ∴∠3＝∠2＝180°﹣72°＝108°， ∠1＝∠4＝72°， 故选：A． 【变式1-1】（2021春•松江区期中）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（　　） A．150° B．180° C．210° D．120° 【分析】根据对顶角相等和周角的定义求三个角的和． 【解答】解：∵∠COF与∠DOE是对顶角， ∴∠COF＝∠DOE， ∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF360°＝180°． 故选：B． 【变式1-2】（2021春•雨花区校级期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 【分析】根据对顶角、邻补角的概念和性质进行判断即可． 【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2， ∵∠1与∠3是邻补角， ∴∠1+∠3＝180°， ∴∠2+∠3＝180°． 故选：B． 【变式1-3】（2021春•莱阳市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝78°，∠DOF：∠AOD＝1：2，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．48° 【分析】设∠DOF＝x，根据邻补角的概念用x表示出∠BOF，根据角平分线的定义求出∠FOE，根据题意列式求出x，根据对顶角相等解答即可． 【解答】解：设∠DOF＝x，则∠AOD＝2x， ∴∠AOF＝3x， ∴∠BOF＝180°﹣3x， ∵OE平分∠BOF， ∴∠FOE∠BOF＝90°x， ∵∠DOE＝78°， ∴∠DOF+∠FOE＝78°， 即x+90°x＝78°， 解得：x＝24°， 则∠AOD＝2x＝48°， ∴∠BOC＝∠AOD＝48°， 故选：D． 【知识点2 垂线】 ①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线 互相垂直. ②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的 垂线. ③它们的交点叫做 垂足. ④垂线的性质： 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短. 【题型2 垂线的唯一性及画法】 【例2】（2021春•围场县期末）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（　　） A．过P可画直线垂直于l B．过Q可画直线l的垂线 C．连接PQ使PQ⊥l D．过Q可画直线与l垂直 【分析】直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案． 【解答】解：A、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过P可画直线垂直于l，正确，不合题意； B、∵P为直线l上的一点，Q为l外一点，∴过Q可画直线l的垂线，正确，不合题意； C、连接PQ不能保证PQ⊥l，故错误，符合题意； D、∵Q为l外一点，∴可以过Q可画直线与l垂直，正确，不合题意； 故选：C． 【变式2-1】（2021春•西城区校级期末）下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可． 【解答】解：根据分析可得D的画法正确， 故选：D． 【变式2-2】（2021春•讷河市期末）在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q，并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【分析】根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断． 【解答】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条， 故选：B． 【变式2-3】（2021春•沈阳月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是