第04课 二次根式全章复习与巩固【帮课堂】2021-2022学年八年级数学下册同步精品讲义（人教版）

第04课 二次根式全章复习与巩固 目标导航 课程标准 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 知识精讲 知识点01 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 注意： 二次根式有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2） ； （3）. 注意： （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （），如（）. （2） 中的取值范围可以是 ，即不论取何值，一定 . （3）化简时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取 ，而中的必须取 ； =，=（）. 相同点：被开方数都是 ，当取 时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含 . 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 注意： 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数中每个因式的指数都小于 . 4.同类二次根式 几个二次根式化成 后，被开方数 ，这几个二次根式就叫同类二次根式. 注意： 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点02二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 注意： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 注意： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 能力拓展 考法01 二次根式的定义 【典例1】在式子①，②， ③，④，⑤中，二次根式有_____________个． 【典例2】当____时，二次根式取最小值，其最小值为_________． 【典例3】如果分式有意义，那么x的取值范围是_______． 【即学即练】二次根式有意义的条件是_______． 【即学即练】当_____时，式子有意义． 【即学即练】当x＝______时，二次根式取最小值. 【即学即练】函数的自变量x的取值范围是__________． 【即学即练】若，则的值是_________． 考法02 二次根式的性质 【典例4】若a＜1，化简＝___． 【即学即练】若3，m，5为三角形的三边长，则化简的结果为________． 【即学即练】已知，则的取值范围是_____． 【即学即练】已知a，b，c为三角形三边，则=______． 【即学即练】已知，化简得____________． 【即学即练】若为△ABC的三边，化简=_______． 【即学即练】已知：a＜0，化简=_____． 【典例5】在实数范围内分解因式：x3－6x＝___． 【即学即练】在实数范围内分解因式： =_________ 考法03 二次根式的乘除法 【典例6】计算：=______；×÷=______. 【即学即练】=________.. 【即学即练】计算的结果是__． 【即学即练】化简：3··＝____________. 【即学即练】计算的结果是______． 考法04 最简二次根式 【典例7】，，，四个二次根式中，是同类二次根式的是_____． 【典例8】若最简二次根式和能合并,则a的值为___. 【即学即练】若最简二次根式与能合并成一项，则a＝_____． 【即学即练】若是正整数，则正整数n的最小值是_____ 【典例9】分母有理化：＝_____． 【即学即练】化为最简根式的结果_______． 【即学即练】化简_________________． 考法05 二次根式的加减法 【典例10】计算：_____________． 【即学即练】计算______． 【即学即练】化简的结果是_____________