专题二 第1讲　等差数列与等比数列-2022高考文科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第1讲　等差数列与等比数列 高考定位　1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下． 1.(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块．向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 答案　C 解析　设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块). 2.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　) A.2n－1 B.2－21－n C.2－2n－1 D.21－n－1 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝2. ＝ 由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1. 所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1， 所以＝2－21－n.＝ 3.(2020·新高考海南卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得数列{an}，则{an}的前n项和为________. 答案　3n2－2n 解析　∵数列{2n－1}的项为1，3，5，7，9，11，13，…， 数列{3n－2}的项为1，4，7，10，13，…， ∴数列{an}是首项为1，公差为6的等差数列. ∴an＝1＋6(n－1)＝6n－5. 故数列{an}的前n项和Sn＝n[1＋(6n－5)]＝3n2－2n. 4.(2021·全国乙卷)设Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2. ＋ (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式. (1)证明　因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以n≥2时，Sn＝， 代入＝2， ＋＝2可得，＋ 整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2). 又， ＝2，所以b1＝＝＋ 故{bn}是以为公差的等差数列.为首项， (2)解　由(1)可知，bn＝， ＝2，所以Sn＝＋，则(n－1)＝＋ 当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝. ＝－－ 故an＝ 1.等差数列 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d； (2)求和公式：Sn＝d； ＝na1＋ (3)常用性质： ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列. 2.等比数列 (1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)； (2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝； ＝ (3)常用性质： ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列. 温馨提醒　应用公式an＝Sn－Sn－1时一定注意条件n≥2，n∈N*. 热点一　等差、等比数列的基本运算 【例1】 设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列. (1)求{an}的通项公式； (2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值. 解　(1)设{an}的公差为d. 因为a1＝－10， 所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d. 因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列， 所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6). 所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d). 解得d＝2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12. (2)法一　由(1)知，an＝2n－12. 则当n≥7时，an>0； 当n＝6时，an＝0； 当n<6时，an<0； 所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30. 法二　由(1)知，Sn＝(a1＋an)＝n(n－11) ＝，又n∈N*， － ∴当n＝5或n＝6时，Sn的最小值S5＝S6＝－30. 探究提高　1.等差(比)数列基本运算的解题途径： (1)设基本量a1和公差d(公比q). (2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量. 2.第(2)题求出基本量a1与公差d，进而