专题五 第1讲　直线与圆-2022高考文科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第1讲　直线与圆 高考定位　考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现． 1.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　B 解析　设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为. 2.(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3. 如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC|＝2＝2.＝2，弦的长度l＝2 3.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 D.当∠PBA最大时，|PB|＝3 答案　ACD 解析　设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4. 由题意知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0， ＋ 则圆心M到直线AB的距离d＝>4， ＝ 所以直线AB与圆M相离， 所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋， 又4＋＝10，故A正确；<5＋ 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4， 又－4＝1，故B不正确； －4< 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ， 则当∠PBA最小时，点P与N重合， |PB|＝； ＝3＝ 当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确.综上，选ACD. 4.(2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切. (1)求抛物线C，⊙M的方程； (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由. 解　(1)由题意，直线x＝1与C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，设C的焦点为F，P在第一象限， 则根据抛物线的对称性，得∠POF＝∠QOF＝45°， 所以P(1，1)，Q(1，－1). 设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)， 则1＝2p，得p＝， 所以抛物线C的方程为y2＝x. 由题意，圆心M(2，0)到l的距离即⊙M的半径，且距离为1， 所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1. (2)直线A2A3与⊙M相切，理由如下： 设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)， 当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3时，A1A2，A1A3均与⊙M相切，此时直线A2A3与⊙M相切. 当x1≠x2≠x3时，直线A1A2的方程为x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0， 则＝1， 即(y＝0， ＋2y1y2＋3－y－1)y 同理可得(y＝0， ＋2y1y3＋3－y－1)y 所以y2，y3是方程(y＝0的两个根， －1)y2＋2y1y＋3－y 则y2＋y3＝－1). ,y－1)，y2y3＝ 直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0. 设点M到直线A2A3的距离为d(d＞0)， 则d2＝－1)))\s\up12(2))＝1，从而d＝r＝1， －1)))\s\up12(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y1,y,y＝ 所以直线A2A3与⊙M相切. 综上可得，直线A2A3与⊙M相切. 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式 (1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. (2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 3.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为. ，半径为r＝ 4.直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离. (2)代数法：将圆的