专题七 第1讲　坐标系与参数方程-2022高考文科数学【创新设计】二轮专题复习（全国版 word）晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏陕赣

第1讲　坐标系与参数方程 高考定位　1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程与参数方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用；2.高考对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用． 1.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1. (1)写出⊙C的一个参数方程； (2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 解　(1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1， 则⊙C的参数方程为(α为参数). (2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0， 所以， ＝1，解得k＝± 则这两条切线方程分别为y＝＋1， x＋＋1，y＝－x－ 故这两条切线的极坐标方程分别为ρsin θ＝＋1，ρsin θ＝ρcos θ－ －＋1. ρcos θ＋ 2.(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点A的直角坐标为(1，0)，点M为C上的动点，点P满足，写出点P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.＝ 解　(1)根据ρ＝2ρcos θ， cos θ，得ρ2＝2 因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ， 所以x2＋y2＝2x， 所以曲线C的直角坐标方程为(x－)2＋y2＝2. (2)设P(x，y)，M(x′，y′)， 则＝(x′－1，y′).＝(x－1，y)， 因为，所以＝ 即 因为点M为C上的动点， 所以＝2， ＋ 即(x－3＋)2＋y2＝4. 所以点P的轨迹C1的参数方程为 所以|CC1|＝3－2，⊙C1的半径r1＝2， 又⊙C的半径r＝，所 以|CC1|＜r1－r， 所以C与C1没有公共点. 1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b. 3.圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcos θ； (3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ. 4.直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数). 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量. 5.圆、椭圆的参数方程 (1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π). (2)椭圆(θ为参数).＝1的参数方程为＋ 热点一　曲线的极坐标方程 【例1】 在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P. (1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程； (2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 解　(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上， 当θ0＝. ＝2时，ρ0＝4sin 由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2. 设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点. 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 经检验，点P＝2上， 在曲线ρcos 所以，l的极坐标方程为ρcos＝2. (2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P在线段OM上，且AP⊥OM， 所以θ的取值范围是. 所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈. 探究提高　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧. 2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，常利用极径的几何意义找到突破口，体现数形结合思想的具体应用.如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解. 【训练1】 (2021·宿州质检)在平面直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为x＋y＝0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极