1.5角平分线(精讲)-【重要笔记】2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(北师大版)

1.5角平分线 角的平分线的性质 　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 注意： 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 题型1：角平分线与求线段长度 1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】由条件可先求得BD的长，再根据角平分线的性质可知D到AC的距离等于BD，可得到答案． 【解答】解：∵BC＝10，CD＝6， ∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4， △ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC， ∴点D到AC的距离＝BD＝4． 故选：A 【变式1-1】如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】作DE⊥BC，根据三角形内角和定理得到∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值， ∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC， ∴DE＝AD＝2， 故选：C． 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点． （1）求∠B的度数． （2）若DE＝5，求BC的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质得到∠2＝∠B，根据直角三角形的性质列式计算，得到答案； （2）根据角平分线的性质求出CD，根据含30°的直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠2＝∠B， ∵AD平分∠CAB， ∴∠1＝∠2， ∵∠C＝90°， ∴∠B＝∠1＝∠2＝30°； （2）∵DE⊥AB，∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝10， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝5， ∴BC＝CD+BD＝15 题型2：角平分线与周长问题 2.如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　） A．9 B．5 C．10 D．不能确定 【分析】先利用角平分线的性质得到DE＝DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长＝AB． 【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∵AC＝BC， ∴BC＝AE， ∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10． 故选：C 【变式2-1】如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　） A．8.5 B．15 C．17 D．34 【分析】根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可． 【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点， ∴点O到△ABC各边的距离相等， 而OD⊥BC，OD＝4， ∴点O到△ABC各边的距离为4， ∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34， ∴AB+AC+BC＝17， 即△ABC的周长为17． 故选：C 【变式2-2】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，DE⊥AB于点E，AC＝7cm，△DEB的周长为12cm． （1）求证：AC＝AE； （2）求△ABC的周长． 【分析】（1）由角平分线性质得CD＝DE，且有AD＝DA，利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED即可； （2）根据（1）中结论CD＝DE，将与周长相关的线段转化即可． 【解答】（1）证明：∵∠C＝90°DE⊥AB， ∴∠C＝∠DEA＝90°， 又∵AD平分∠BAC， ∴CD＝DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝DA， ∴Rt△ACD≌Rt△AED， ∴AC＝AE； （2）解：∵△DEB的周长为12， ∴BD+DE+EB＝BD+CD+EB＝12， ∴△ABC的周长为：AC+AE+EB+BD+DC＝AC+AE+12＝26 题型3：角平分线与面